内容正文:
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第五章 三角函数、解三角形
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第3讲 三角恒等变换
考纲知识解读
知识梳理
1.
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)=sin
αcos
β±cos
αsin
β;
cos(α∓β)=cos
αcos
β±sin
αsin
β;
tan(α±β)=
tan
α±tan
β
1∓tan
αtan
β
.
2.
二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin
2α=2sin
αcos
α;
cos
2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1
-2sin2α;
tan
2α=
2tan
α
1-tan2α
(α≠kπ+
π
2
且α≠
kπ
2+
π
4
,k∈Z).
3.
有关公式的逆用、变形等
(1)tan
α±tan
β=tan(α±β)(1∓tan
αtan
β);
(2)cos2α=
1+cos
2α
2
,sin2
α=
1-cos
2α
2
,
sin
αcos
α=
1
2sin
2α;
(3)1+sin
2α=(sin
α+cos
α)2,
1-sin
2α=(sin
α-cos
α)2,
sin
α±cos
α= 2sinα±
π
4 ;
(4)升幂公式
1+cos
α=2cos2
α
2
;1-cos
α=2sin2
α
2
;
1+sin
α=sin
α
2+cos
α
2
2
;
1-sin
α=sin
α
2-cos
α
2
2
.
4.
辅助角公式
asin
α+bcos
α= a2+b2sin(α+φ) 其中
sin
φ=
b
a2+b2
,cos
φ=
a
a2+b2
.
5.
万能公式
sin
α=
2tan
α
2
1+tan2
α
2
;
cos
α=
1-tan2
α
2
1+tan2
α
2
;
tan
α=
2tan
α
2
1-tan2
α
2
.
6.
和差化积、积化和差公式
(1)和差化积公式
sin
α+sin
β=2sin
α+β
2 cos
α-β
2
;
sin
α-sin
β=2cos
α+β
2 sin
α-β
2
;
cos
α+cos
β=2cos
α+β
2 cos
α-β
2
;
cos
α-cos
β=-2sin
α+β
2 sin
α-β
2 .
高考总复习·数学
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(2)积化和差公式
sin
αcos
β=
1
2
[sin(α+β)+sin(α-β)];
cos
αsin
β=
1
2
[sin(α+β)-sin(α-β)];
cos
αcos
β=
1
2
[cos(α+β)+cos(α-β)];
sin
αsin
β=-
1
2
[cos(α+β)-cos(α-β)].
补充提示
1.
正弦公式概括为“正余,余正符号同”.余
弦公式概括为“余余,正正符号异”.“符号同”指
的是前面是两角和,则后面中间为“+”号;前面
是两角差,则后面中间为“-”号.
2.
余 弦 的 二 倍 角 公 式 有 三 个:cos
2α=
cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,逆用即为
“降幂公式”.
3.
重视三角函数的“三变”即“变角、变名、
变式”.变角为对角的分拆要尽可能化成已知角、
同角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称;变式:
对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低
次数等.
重点难点突破
突破一 求值、求角问题
三角函数的求值主要有三种类型,即给角求
值,给值求