第五章 第2讲 三角函数的图象和性质-【高考总复习】2024高考数学一轮复习

􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋● 第五章 三角函数、解三角形 99 第2讲 三角函数的图象和性质 考纲知识解读 知识梳理 1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和 性质 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 图象 定义域 R R x x∈R且 x≠ π 2+kπ ,k∈Z 值域 [-1,1] [-1,1] R 单调性 2kπ- π 2 ,2kπ+ π 2 (k∈Z)上递增; 2kπ+ π 2 ,2kπ+ 3π 2 (k∈Z)上递减 [2kπ-π,2kπ] (k∈Z)上递增; [2kπ,2kπ+π] (k∈Z)上递减 kπ- π 2 , kπ+ π 2 (k∈Z)上递增 最值 x= π 2 +2kπ (k∈Z) 时,ymax = 1;x = - π 2+2kπ (k∈Z)时, ymin=-1 x=2kπ(k∈Z) 时,ymax = 1; x=π+2kπ(k ∈Z)时,ymin= -1 无最值 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称 中心 (kπ,0)(k∈Z) kπ+ π 2 ,0 ( k∈Z) kπ 2 ,0 (k∈Z) 对称轴 方程 x=kπ+ π 2 (k∈Z) x=kπ(k∈Z) 周期 2π 2π π 2. y=Asin(ωx+φ)的有关概念 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0),x∈ [0,+∞)表示一个 振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 A T= 2π ω f= 1 T = ω 2π ωx+φ φ 3. 用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期 内的简图 用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内 的简图时,要找五个关键点,如下表所示: x -φω - φ ω + π 2ω π-φ ω 3π 2ω- φ ω 2π-φ ω ωx+φ 0 π 2 π 3π 2 2π y=Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0 4. 函数y=sin x 的图象变换得到y= Asin(ωx+φ)(ω>0)的图象的步骤 补充提示 1. 求三角函数的单调区间时,应先把函数 式化成y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式,再根据 三角函数的单调区间,应用整体的思想反解出x 所在的 区 间.若 x 的 系 数 为 负 值,应 先 化 为 正值. 2. A,ω 的符号对函数y=Asin(ωx+φ)+ b单调性的影响:若 A<0,则y=Asin(ωx+ φ)+b的单调性与y=sin(ωx+φ)的单调性相 反;若ω<0,则一般是先利用诱导公式将原式变 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 高考总复习·数学 ●􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 100 形为y=-Asin(-ωx-φ)+b 的形式,再讨论 函数的单调性. 3. 函 数 y = Asin(ωx +φ)和 y = Acos(ωx+φ)的 最 小 正 周 期 为 2π |ω| ,y = tan(ωx+φ)的最小正周期为 π |ω|. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 重点难点突破 突破一 三角函数的定义域与值域 1. 求与三角函数有关的定义域问题实际上 是解简单的三角不等式,也可借助三角函数线或 三角函数图象来求解. 2. 求解三角函数的值域(最值)首先把三角 函数化为y=Asin(ωx+φ)+k 的形式,再求最 值(值域),或用换元法(令t=sin x,或t=sin x ±cos x)化为关于t的二次函数求值域(最值). 典型例题 例1 (1)[江 西 省 南 昌 二 中 月 考]函数y= sin x-cos x的定义域为 ; (2)函数f(x)=3sinx+ π 6 在x=θ 时取 得最大值,则tanθ= . (3)函 数 y=sin2x+sin x-1 的 值 域 为 . 解析 (1)sin x-cos x= 2sinx- π 4 ≥0, 则2kπ≤x- π 4≤π+2kπ ,k∈Z, 解得2kπ+ π 4≤x≤2kπ+