第五章 第1讲 三角函数的概念、基本关系与诱导公式-【高考总复习】2024高考数学一轮复习

高考总复习·数学 ●􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 92 第五章 三角函数、解三角形 第1讲 三角函数的概念、基本关系与诱导公式 考纲知识解读 知识梳理 1. 角的概念的推广 (1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕 着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的 图形. (2)分类 按旋转方向不同分为正角、负角、零角. 按终边位置不同分为象限角和轴线角. (3)终边相同的角:所有与角α 终边相同的 角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β= α+k·360°,k∈Z}. 2. 弧度的定义和公式 (1)定义:长度等于半径长的弧所对的圆心 角叫做1弧度的角,弧度记作rad. (2)公式:①弧度与角度的换算:360°=2π 弧度;180°=π弧度;②弧长公式:l=|α|r;③扇 形面积公式:S扇形= 1 2lr= 1 2|α|r 2. 注意:公式中α的单位是弧度,l与r的单位 要统一. 3. 任意角的三角函数 (1)设α 是一个任意角,它的终边与单位圆 交于点P(x,y),则sin α=y,cos α=x,tan α= y x (x≠0). (2)三角函数值在各象限的符号. sin α cos α tan α 上述符号可简记为:一全正,二正弦,三正 切,四余弦. 4. 三角函数线 设角α的顶点在坐标原点,始边与x 轴非负 半轴重合,终边与单位圆相交于点 P,过 P 作 PM 垂直x 轴于M.由三角函数的定义知,点P 的坐 标 为(cos α,sin α),其 中cos α=OM, sin α=MP,单位圆与x 轴的正半轴交于点A, 单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长 线相交于点T,则tan α=AT.我们把有向线段 OM,MP,AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线. 三 角 函 数 线 有向线段 MP 为正 弦线 有向线段 OM 为余 弦线 有向 线 段 AT 为 正切线 5. 同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1. (2)商数关系: sin α cos α=tan α. (3)公 式 常 用 变 形:sin2α=1-cos2α, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋● 第五章 三角函数、解三角形 93 cos2α=1-sin2α,sin α=± 1-cos2α,cos α= ± 1-sin2α,sin α=cos α·tan α,cos α= sin α tan α 等. 6. 三角函数的诱导公式 角 函数 2kπ+α(k∈Z) π+α -α π-α π2-α π 2+α 正弦 sin α -sin α -sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α -cos α cos α -cos α sin α -sin α 正切 tan α tan α -tan α -tan α 1tan α - 1 tan α 补充提示 1. 三角函数线可以看作是三角函数的几何 表示.正弦线的起点都在x 轴上,余弦线的起点 都是原点,正切线的起点都是(1,0). 2. 诱导公式的记忆口诀:奇变偶不变,符号 看象限. 3. 弦切互化法:主要利用公式tan α= sin α cos α 化成正、余弦. 4. 巧 用“1”的 变 换:1=sin2θ+cos2θ= cos2θ(1+tan2θ)=tan π 4= …. 5. 利用诱导公式进行化简求值时,先利用 公式化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步 骤:去负—脱周—化锐,特别注意函数名称和符 号的确定. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 重点难点突破 突破一 三角函数的定义 根据三角函数的定义,求三角函数值(或参 数的值).