第四章 第1讲 导数的概念，运算及几何意义-【高考总复习】2024高考数学一轮复习

高考总复习·数学 ●􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 74 第四章 导数及其应用 第1讲 导数的概念、运算及几何意义 考纲知识解读 知识梳理 1. 函数y=f(x)从x1 到x2 的平均变化率 函数y=f(x)从x1 到x2 的平均变化率为 f(x2)-f(x1) x2-x1 ,若Δx=x2-x1,Δy=f(x2)- f(x1),则平均变化率可表示为 Δy Δx. 2. 函数y=f(x)在x=x0 处的导数 (1)定义:称函数y=f(x)在x=x0 处的瞬 时变化率lim Δx→0 Δy Δx=limΔx→0 f(x0+Δx)-f(x0) Δx 为 函数y=f(x)在x=x0 处的导数,记作f'(x0) 或y'|x=x0,即f'(x0)=lim Δx→0 Δy Δx. (2)几何意义:函数f(x)在点x0 处的导数 f'(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点(x0, f(x0))处的切线的斜率.相应地,切线方程为 y-y0=f'(x0)(x-x0). 3. 函数f(x)的导函数 称函数f'(x)=lim Δx→0 f(x+Δx)-f(x) Δx 为 f(x)的导函数,导函数有时也记作y'. 4. 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)=C(C 为常数) f'(x)=0 f(x)=xn(n∈Q) f'(x)=nxn-1 f(x)=sin x f'(x)=cos x f(x)=cos x f'(x)=-sin x f(x)=ax f'(x)=axln a f(x)=ex f'(x)=ex f(x)=logax f'(x)= 1 xln a f(x)=ln x f'(x)= 1 x 5. 导数运算法则 (1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x); (2)[f(x)·g(x)]' =f' (x)g(x) +f(x)g'(x); (3)f (x) g(x) 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁'=f '(x)g(x)-f(x)g'(x) [g(x)]2 (g(x)≠0). 6. 复合函数的导数 复合函数y=f[g(x)]的导数和函数y= f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=yu'· ux',即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对 x 的导数的乘积. 补充提示 1. 对函数求导,一般要遵循先化简,再求导 的基本原则,求导时,不但要重视求导法则的应 用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作 用,在实施化简时,首先必须注意变换的等价性, 避免不必要的运算失误. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋● 第四章 导数及其应用 75 2. 运用复合函数的求导法则yx'=yu'·ux' 时,应注意以下几点: (1)利用复合函数求导法则求导后,要把中 间变量换成自变量的函数; (2)要分清每一步的求导是哪个变量对哪个 变量求导,不能混淆,直至计算到最后.常出现如 下错 误:(cos 2x)'= -sin 2x,实 际 上 应 是 (cos 2x)'=-2sin 2x; (3)求复合函数的导数,关键在于分清楚函 数的复合关系,选择好中间变量; (4)开始学习求复合函数的导数时,要一步 步写清楚,熟练后,中间步骤可省略. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 重点难点突破 突破一 导数的计算 1. 求导之前利用代数或三角恒等变换对函 数进行化简可减少运算量. 2. 对于商式的函数若在求导之前变形,则 可以避免使用商的导数法则,减少失误. 3. 复合函数求导的关键是分清函数的复合 形式,其导数为两层导数的积,必要时可换元 处理. 典型例题 例1 蜥蜴的体温与阳光的照射有关,其关系 为 T(t)= 120 t+5+15 ,其 中 T(t)为 体 温(单 位:℃),t为太阳落山后的时间(单位:min). (1)从t=0到t=10 min,蜥蜴的体温下降 了多少? (2)从t=0到t=10 min,蜥蜴的体温的平 均变