第十章 第2讲 双曲线-【高考总复习】2024高考数学一轮复习

􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋● 第十章 圆锥曲线 229 第2讲 双曲线 考纲知识解读 知识梳理 1. 双曲线的定义 平面上,到两定点F1,F2 的距离之差的绝对 值为常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点.两焦点间的距离 叫做焦距,符号表示为||MF1|-|MF2||=2a (2a<|F1F2|). 2. 双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x 2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0) y 2 a2 - x2 b2 =1(a>0,b>0) 图形 性质 范围 x∈(-∞,-a]∪ [a,+∞),y∈R y∈(-∞,-a]∪ [a,+∞),x∈R 对称性 对称轴;x 轴、y 轴 对称中心:原点 对称轴:x 轴、y 轴 对称中心:原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) 渐近线 y=± b ax y=± a bx 离心率 e= c a ,e∈(1,+∞),其中c= a2+b2 实、虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长为|A1A2|=2a; 线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长为|B1B2|=2b (a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长) 补充提示 1. 常见双曲线的设法: (1)已知a=b 的双曲线方程可设为x2- y2=λ(λ≠0); (2)已知过两点的双曲线方程可设为Ax2- By2=1(AB>0); (3)已知离心率为e 的双曲线方程可设为 x2 a2 - y 2 (e2-1)a2 =1或y 2 a2 - x2 (e2-1)a2 =1; (4)已知渐近线为 x m± y n=0 的双曲线方程 为x 2 m2 -y 2 n2 =λ(λ≠0); (5)与双曲线 x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)有公共焦 点的双曲线方程为 x 2 a2+m - y 2 b2-m =1(-a2<m< b2); (6)与双曲线 x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)有相 同离心率的双曲线方程为 x 2 a2m -y 2 b2m =1(m> 0)或 y 2 a2m - x2 b2m =1(m>0); (7)与双曲线 x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)有公 共渐近线的双曲线方程为x 2 a2 -y 2 b2 =m(m≠0). 2. 解决与双曲线上的点有关问题时,有时 候还要区分点在哪支上.在 双 曲 线 的 定 义 式 ||MF1|-|MF2||=2a 中,有两点要注意:一是 2a<|F1F2|.当2a=|F1F2|时,轨迹是直线 F1F2 上以F1、F2 为端点向外的两条射线;当 2a>|F1F2|时,动点轨迹不存在.二是含绝对值 号,当|MF1|-|MF2|=2a 时,曲线仅表示焦点 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 高考总复习·数学 ●􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 230 F2 所在一侧的一支;当|MF1|-|MF2|=-2a 时,曲线仅表示焦点F1 所在一侧的一支. 3. 平行于双曲线的渐近线的直线与双曲线 有且只有一个交点. 4. 双曲线中的特殊量 (1)双曲线的焦半径:双曲线上的点P(x0, y0)与左(下)焦点F1,或右(上)焦点F2 之间的 线段长度称作焦半径,分别记作r1=|PF1|, r2=|PF2|. ① x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0),若 P 在右支 上,r1=ex0+a,r2=ex0-a;若 P 在左支上, r1=-ex0-a,r2=-ex0+a. ②y 2 a2 - x2 b2 =1(a>0,b>0),若 P 在上支 上,r1=ey0+a,r2=ey0-a;若 P 在下支上, r1=-ey0-a,r2=-ey0+a. (2)双曲线的通径:过双曲线的焦点与双曲 线实轴所在直线垂直的直线被双曲线截得的线 段,称为双曲线的通径,其长为|P1P2|= 2b2 a . (3)双曲线的焦点三角 形:设 F1,F2 为双 曲 线 的 左、右焦点,P 为双曲线上 异于顶点的点,则△PF1F