第三章 第7讲 函数与方程-【高考总复习】2024高考数学一轮复习

􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋● 第三章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 67 是 . 13. (多选)两个函数的图象经过平移后能够重 合,称这两个函数为“同形”函数,给出四个 函数:f1 (x)=log2 (x +1),f2(x)= log2(x+2),f3 (x)=log2x2,f4 (x)= log2(2x),其中“同形”函数是 ( ) A. f2(x)与f4(x) B. f1(x)与f3(x) C. f1(x)与f4(x) D. f3(x)与f4(x) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第7讲 函数与方程 考纲知识解读 知识梳理 1. 函数的零点 (1)定义: 对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0 成立的实数x 叫做函数y=f(x)(x∈D)的 零点. (2)函数的零点与相应方程的根、函数的图 象与x 轴交点间的关系: (3)函数零点的判定(零点存在性定理): 条件 结论 函数y=f(x)在 [a,b]上 (1)图象是连续不断的 (2)f(a)·f(b)<0 y=f(x)在(a,b )内有 零点 注意:在上述定理的条件下,只能判断出零 点存在,不能确定零点的个数. [辨析比较] f(a)·f(b)<0与函数f(x)存 在零点的关系 ①若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图 象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)< 0,则函数y=f(x)一定有零点. ②由函数y=f(x)在闭区间[a,b]上有零 点不一定能推出f(a)·f(b)<0,如图,所以 f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上 有零点的充分不必要条件.事实上,只有当函数 图象通过零点(不是偶次零点)时,函数值才变 号,即相邻两个零点之间的函数值同号. ③若函数f(x)在[a,b]上单调,且f(x)的 图象是连续不断的一条曲线,则f(a)·f(b)< 0⇒函数f(x)在[a,b]上只有一个零点. 2. 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象 与零点的关系 Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 与x 轴的交点 (x1,0),(x2,0) (x1,0) 无交点 零点个数 两个 一个 零个 3. 二分法 (1)对 于 在 区 间 [a,b]上 连 续 不 断 且 f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地 把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区 间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 高考总复习·数学 ●􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 68 值的方法叫做二分法. (2)给定精确度ε,用二分法求函数f(x)零 点近似值的步骤如下: ①确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0, 给定精确度ε; ②求区间(a,b)的中点c; ③计算f(c); (i)若f(c)=0,则c就是函数的零点; (i)若f(a)·f(c)<0,则令b=c(此时零 点x0∈(a,c)); (ii)若f(c)·f(b)<0,则令a=c(此时零 点x0∈(c,b)). ④判断是否达到精确度ε.即:若|a-b|< ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复②③④. 4. 几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0) 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 指数函数模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0) 对数函数模型 f(x)=blogax+c(a,b,c 为常数,a>0且a≠1, b≠0) 幂函数模型 f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0,n≠0) 5. 三种增长型函数模型的图象与性质 函数 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xn(n>0) 在(0,+∞) 上的增减性 增函数 增函数 增函数 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x 增大逐渐表 现为与y 轴平行 随x 增大逐渐表 现为与x 轴平行 随 n 值 变 化 而不同 补充提示 1.