专题03 空间向量的坐标与空间直角坐标系5种常见考法归类-【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教B版2019选择性必修第一册)

专题03 空间向量的坐标与空间直角坐标系5种常见考法归类 1．空间中向量的坐标 一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底，在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p＝(x，y，z)．其中x，y，z都称为p的坐标分量． 2．空间向量的运算与坐标的关系 假设空间中两个向量a，b满足a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则有以下结论： (1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)； (2)若u，v是两个实数，ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2)； (3)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2； (4)|a|＝＝； (5)当a≠0且b≠0时，cos〈a，b〉＝＝． 3．空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直 (1)当a≠0时，a∥b⇔b＝λa⇔(x2，y2，z2)＝λ(x1，y1，z1)⇔，当a的每一个坐标分量都不为零时，有a∥b⇔＝＝． (2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0． 4．空间直角坐标系 (1)在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴．这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz． (2)在空间直角坐标系Oxyz中，x轴、y轴、z轴是两两垂直的，它们都称为坐标轴，通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面． (3)z轴正方向的确定：在z轴的正半轴看xOy平面，x轴的正半轴绕O点沿逆时针方向旋转90°能与y轴的正半轴重合． (4)空间直角坐标系的画法：在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为135°(或45°)，z轴与y轴(或x轴)垂直． (5)空间中一点的坐标：空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，其中x叫做点M的横坐标(或x坐标)，y叫做点M的纵坐标(或y坐标)，z叫做点M的竖坐标(或z坐标)． (6)三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分，每一部分都称为一个卦限，按逆时针方向，在坐标平面xOy的上方，分别是第Ⅰ卦限，第Ⅱ卦限，第Ⅲ卦限，第Ⅳ卦限，在平面xOy的下方，分别是第Ⅴ卦限，第Ⅵ卦限，第Ⅶ卦限，第Ⅷ卦限，根据点的坐标的特征，第Ⅰ卦限的点集用集合可表示为{(x，y，z)|x＞0，y＞0，z＞0}． (7)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。 5．空间向量坐标的应用 (1)点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离OP＝． (2)任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离P1P2＝． 6.用坐标表示空间向量的步骤 (1) (2)空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再进行加法或减法运算，最后进行数量积运算，先算括号里，后算括号外． 提醒：空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则基本一样，应注意一些计算公式的应用． 7.关于空间向量坐标运算的两类问题 （1）直接计算问题 首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算. （2）由条件求向量或点的坐标 首先把向量用坐标形式设出来，然后通过建立方程（组），解方程（组）求出其坐标.. 8．建立空间直角坐标系时应遵循以下原则 (1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内； (2)充分利用几何图形的对称性． 9．求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)，确定第三个坐标． 10．利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤： 11．空间中三点共线的充要条件： 三个点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)共线的充要条件是＝＝． 简证：三个点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)共线的充要条件为＝λ，即向量与向量共线，其坐标对应成比例，从而有＝＝． 12.解决空间向量垂直、平行问题的思路 (1)当有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标，例如，设向量a＝(x，y，z)． (2)在有关平行的问题中，通常需要引入参数，例如，已知a∥b，则引入参数λ，有a＝λb，再转化为方程组求解． (3)选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的． 13.解决空间向量夹角、距离问题的思路 通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使