重难点专题05 与几何意义有关的函数问题-【划重点】备战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用）

重难点专题05与几何意义有关的函数问题 题型1类比斜率 1 题型2类比两点间距离 5 题型3类比点到直线距离 11 题型4类比直线与曲线的位置关系 15 题型5类比和差距离问题 18 题型6绝对值中的距离问题 19 题型7两曲线间点的距离 20 题型1类比斜率 形如的形式，用几何意义来理解，可以类比斜率。 【例题1】（2020秋·上海长宁·高三上海市延安中学校考阶段练习）已知是定义在R上的增函数，函数的图象关于点对称，若实数m，n满足等式，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数是递增函数，且的图象关于点对称，可得函数是奇函数， 再结合可得，进而利用数形结合求出结果． 【详解】是定义在R上的增函数，且函数的图象关于点对称， 所以函数是奇函数； 又， 所以，且； 即， 画出不等式组表示的图形，如图所示， 所以表示圆弧上的点与点连线的斜率， 所以结合图象可得：的最大值是直线的斜率，为， 最小值是直线的斜率，不妨设为k， 则， 消去n，得， 整理得， 令， 化简得， 解得， 应取为最小值； 所以的取值范围是：． 故选：C． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，函数与方程的综合运用，考查数形结合思想．解题分两部分，一部分是由函数单调性与奇偶性化为，第二部分收构成点，用几何意义来解释此条件，用几何意义来理解．从而达到求解的目的． 【变式1-1】1. （2023·全国·高三专题练习）函数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对变形，得到，当时，利用的几何意义求解其取值范围，进而得到，当时，，从而求出的最小值. 【详解】当， 当时,因为， 令，的含义是点与单位圆上的点的连线的斜率，所以，所以 所以，即， 综合得，， 故最小值为：. 故选：B. 【变式1-1】2. （2022秋•上城区校级期中）函数的最小值为 . 【答案】 【分析】令，根据同角三角函数基本关系可将函数解析式化为，再分析其几何意义，利用直线的斜率公式和数形结合思想进行求解. 【详解】令， 则， 它表示半圆上的与连线的斜率（如图所示）， 由图象得当与半圆相切时，函数取最小值， 此时,,， ， 即的最小值为. 故答案为：. 【变式1-1】3. （2020•泰州一模）已知实数a，b，c满足a2＋b2＝c2，c≠0，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由a2＋b2＝c2可设a＝csinx，b＝ccosx，＝＝，可以理解为点(2，0)与单位圆上的点连线的斜率的范围，而两条切线的斜率为±，则的取值范围为. 题型2类比两点间距离 形如的形式，用几何意义来理解，可以类比两点间距离问题。 【例题2】（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）设，，已知函数，有且只有一个零点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设函数的零点为，可得，由此可得点在直线上，由此可得，再利用导数求其最小值. 【详解】函数的零点为， 则，且，即， 所以点在直线上， 又表示点到原点的距离的平方， 故， 所以， 设， 则， 故， 设， 则， 因为，所以， 所以函数在上单调递减， 所以当时，， 故当时，，函数在上单调递增， 所以. 所以当，时，取最小值，最小值为. 所以当时，的最小值为. 故选：B. 【点睛】知识点点睛：本题考查函数零点的定义，直线方程的定义，点到直线的距离，两点之间的距离，利用导数求函数的最值，考查数学运算，数形结合等数学思想. 【变式2-1】1. （2023·全国·高三专题练习）已知实数满足，则对任意的正实数，的最小值为 . 【答案】8 【分析】求出圆心到曲线上的点的距离最值后可求的最小值. 【详解】因为实数满足，故在圆：上. 而，设， 则表示到曲线上的点的距离的平方. 又， 因为在为增函数，且， 故当时，即；当时，即； 故在上为减函数，在为增函数，故的最小值为. 故到曲线上的点的距离最小值为， 而圆的半径为，故圆上的点到曲线上的点的距离最小值为， 故的最小值 为. 故答案为：.    【点睛】思路点睛：与圆有关的最值问题，往往需要转化到圆心到几何对象的最值问题来处理，另外注意代数式对应的几何意义. 【变式2-1】2.（2022秋·河南南阳·高三统考期中）不等式对任意实数，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，则可得，而分别在曲线和直线上，将直线平移恰好与曲线相切时，可求出的最小值，从而可解关于的不等式可得答案. 【详解】由题意设，则，所以， 因为分别在曲线和直线上， 所以将直线平移恰好与曲线相切时，切点到直线的距离最小，此时最小， 设切线为，切点为，则，得， 所以，得，则， 所以的最小值