重难点专题04 函数中的双变量问题-【划重点】备战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用）

重难点专题04函数中的双变量问题 题型1二次函数中的双变量问题 1 题型2构造函数法 9 题型3同构法 13 题型4换元法（整体法） 19 题型5选取主元法 22 题型6变换主元法 25 题型7参变分离 30 题型1二次函数中的双变量问题 一元二次函数中的双变量问题，注意对称轴的使用 【例题1】（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）二次函数与在它们的一个交点处切线互相垂直，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据交点处切线垂直得到，再利用基本不等式中的乘1法即可得到最值. 【详解】解：设该交点为， 因为，则， 因为，则， 因为两函数在交点处切线互相垂直， 所以，， 分别化简得，， 上述两式相加得，又， 其中， 当且仅当，且即时取等号. 故所求最小值为， 故答案为：. 【点睛】切线问题是导数中常遇到的问题，本题设交点坐标，根据交点处切线垂直得到等式，再转化为基本不等式中的最值问题. 【变式1-1】1. （2022秋·江苏宿迁·高三校考开学考试）已知二次函数，满足为偶函数，且方程有两个相等的实数根，若存在区间使得的值域为，则 ． 【答案】-4 【分析】由为偶函数可以得到函数的对称轴为，可以结合题意得到在上单调递增，利用构造二次方程，利用根与系数关系即可. 【详解】为偶函数   的对称轴是   又有两个相等的实数根，即，得 ， ， 在上单调递增， ， 为方程的两根 ， 故答案为：-4 【变式1-1】2. （2023·河北·高三考试）已知二次函数 ，满足，且在区间上的最大值为，若函数有唯一零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用求出二次函数对称轴，得到的关系，再利用最大值来确定的值，从而确定的解析式，然后画出||的图象，的零点等价于函数和的交点问题，通过图象来进行求解. 【详解】解：已知二次函数 ，满足， 即是函数的对称轴， 即， 即， ， 又在区间上的最大值为， 若，则在区间上递减， ， 解得：， 此时，， 若，则在区间上递增， 不成立，舍去， 综上所述：， 若函数有唯一零点， 即方程有唯一实根， 画出和的图象，如下所示：   当时，和有两个交点， 当时，由， 即， 令， 解得：， 由图象可知：时，和有两个交点， 当时，和有三个交点， 当时，且为曲线的切线时，只有一个交点，即为原点， ， 可得：， 即只有相等的两实根， 可得判别式， 解得：， 由图象可知：时， 和只有一个交点，即为原点， 综上所述：的取值范围. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是求出的解析式，并利用数形结合的思想对进行分类讨论. 【变式1-1】3. （2023·全国·高三专题练习）已知是二次函数，，且，则 . 【答案】36 【分析】法一：由，可设，则由整理后即为，由得，讨论，可得出，由此可解出，可求出的解析式，即可得出答案. 法二：由，设，讨论和结合题目条件可解得，可求出的解析式，即可得出答案. 【详解】法一： 由，可设， 则由得， 所以且，整理后即为， 由得， 若则必有，此时与矛盾， 所以且， 整理后为， 与相加即得， 即，所以， 所以， 又由于在原不等式中令可得，所以，由此解得. 所以. 法二： ， 令，则，设. 若，则 ， 于是时，存在使得，矛盾； 时，存在使得，矛盾； 故，令，则. 于是，进而. 故答案为：36. 【变式1-1】4. （2023·全国·高三专题练习）设二次函数，若函数的值域为，且，则的取值范围为 . 【答案】[1,13] 【分析】根据二次函数的性质和已知条件得到m与n的关系，化简后利用不等式即可求出其范围. 【详解】二次函数f(x)对称轴为， ∵f(x)值域为， ∴且，n＞0. ， ∵ ==== ∴，， ∴∈[1,13]. 故答案为：[1,13]. 【变式1-1】5. （2023·全国·高三专题练习）已知二次函数(，，均为正数)过点，值域为，则的最大值为 ；实数满足，则取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意，，所以，进而得到，利用基本不等式求出的最大值，由已知条件可得，利用基本不等式结合，即可求取值范围. 【详解】因为二次函数(，，均为正数)过点， ， 开口向上且值域为， ， ， ， ， ， ，即，当且仅当时等号成立. 即，当且仅当 时等号成立， 的最大值为 (当且仅当时最大)， ， ， ，即 ， ， ， ， ，当且仅当时，即时，等号成立. 又时，， ， 故答案为：； 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”