2.2.1 直线的倾斜角与斜率（同步课件）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第一册）

2.2.1 直线的倾斜角与斜率 学习任务 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.(数学抽象) 2.理解用代数的方法探索直线斜率的过程.(逻辑推理) 3.掌握过两点的直线斜率的计算公式并能解决相关的实际问题.(数学运算) 4.初步理解直线的方向向量和法向量的概念,并能找出其与直线斜率和倾斜角的内在联系.(直观想象,逻辑推理) 主体学习 我们知道，经过平面直角坐标系中的一点，可以有无数条不同的直线，如图所示，过同一点的直线, , ,它们彼此之间的不同点是什么？你能找到一个量来描述他们的不同点吗？你找到的量，能够使图中任意两条不同的直线都有不同的取值吗？ 一、直线的倾斜角与斜率 一般地,给定平面直角坐标系中的一条直线,如果这条直线与x轴相交,将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ,则称θ为这条直线的倾斜角;如果这条直线与x轴平行或重合,则规定这条直线的倾斜角为0°.这样直线倾斜角的取值范围为[0°,180°)(即[0,π)). 平面直角坐标系中的两点可以确定一条直线，那么这两点当然也可以确定直线的倾斜角。 如图所示，分别写出以下直线的倾斜角，并总结出一般的结论 经过A（-1，-1）, B（3,-1）的直线 经过C（2,1）, D（2,2）的直线； 经过E（-1,0）, F（1,2）的直线 直线的斜率 (1)一般地,如果直线l的倾斜角为θ,则当θ≠90°时,称k=tan θ为直线 l 的斜率;当θ=90°时,称直线 l 的斜率不存在. (2)若A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l上两个不同的点,则当x1≠x2时,直线l的 当x1=x2时,直线l的斜率不存在. 例1 已知直线 l 经过点与，求直线 l 的斜率 k 与倾斜角. 解：因为A，B两点的横坐标不相等，所以斜率 . 因此，由可知倾斜角. 例2 已知平面直角坐标系中的四条直线,,如图所示，设它们的倾斜角分别为,而且斜率分别为.分别将倾斜角和斜率按照从小到大的顺序排列. 解：按照倾斜角的定义，从图上可以看出 . 因为 又因为正切函数在)递增且函数值大于0，在递增且函数值小于0，所以 例3 已知，则A,B,C共线吗？A,B,D呢？ 解：因为 , 所以=， 因此A,B,C共线，A,B,D不共线 二、直线的方向向量 给定平面直角坐标系中的一条直线 l ，在 l 上任意取 A,B 两个不同的点，显然也能描述直线 l 相对于 x 轴的倾斜程度，此时，我们称是直线 l 的一个方向向量. 是所有倾斜角为0°的直线的一个方向向量 是所有倾斜角为90°的直线的一个方向向量 是所有倾斜角为45°的直线的一个方向向量 一定是直线 l 的一个方向向量 例4 已知直线 通过点与,求直线 的一个方向向量，并确定直线 的斜率与倾斜角. 解：由已知可得 是直线 的一个方向向量. 因此，直线的斜率 直线的倾斜角满足，从而可知 例4 已知,判断A,B,C是否共线. 解：因为 又因为，所以与不共线，从而A,B,C不共线. 二、直线的法向量 一般地，如果表示非零向量 的有向线段所在直线与直线 垂直，则称向量为直线 的一个法向量，记作⊥. 一条直线的方向向量与法向量互相垂直. 因为向量与是互相垂直的，所以，如果其中一个为直线 的方向向量，另一个一定是直线 的一个法向量. 课堂小结 谢谢观看 斜率为k=. $$