百师联盟(陕西省西安市部分学校)2024届高三上学期开学摸底联考理科数学试题（全国卷）

2024届高三开学摸底联考全国卷 理科数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（是虚数单位），则（ ） A. 1 B. i C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数（e为自然对数的底数）在的大致图象是（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列和均为等差数列，数列的前项和为，若为定值，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在棱长为2正方体中，点在对角线上移动，则三棱锥的体积为（ ） A. B. 8 C. D. 4 7. 已知椭圆的焦点在轴上，若焦距为4，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数m，n满足，，则下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 某冷饮店有“桃喜芒芒”“草莓啵啵”“蜜桃四季春”“芋圆葡萄”四种饮品可供选择，现有四位同学到店每人购买一杯饮品，则恰有两种饮品没人购买的概率为（ ） A B. C. D. 10. “三分损益法”是古代中国发明的制定音律时所用的生律法.例如：假设能发出第一个基准音的乐器的长度为36，那么能发出第二个基准音的乐器的长度为，能发出第三个基准音的乐器的长度为，……，也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一，以此类推.现有一兴趣小组采用此规律构造了一个共12项的数列用来研究数据的变化，已知，则（ ） A. 324 B. 297 C. 256 D. 168 11. 已知随机变量服从两点分布，且，若，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数若关于的方程有6个不同的实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知为实数，，，则向量在向量方向上的投影向量为______. 14. 已知展开式中的常数项为______（用数字作答） 15. 已知双曲线的一个焦点为，点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则双曲线的标准方程是______. 16. 已知在三棱锥中，，，平面，则三棱锥外接球表面积的最小值为______. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60分. 17. 某厂家为增加销售量特举行有奖销售活动，即每位顾客购买该厂生产的产品后均有一次抽奖机会.在一个不透明的盒子中放有四个大小、质地完全相同的小球分别标有1，2，3，5四个数字，抽奖规则为：每位顾客从盒中一次性抽取两个小球，记下小球上的数字后放回，记两个小球上的数字分别为，，若为奇数即为中奖. （1）求某顾客甲获奖的概率； （2）求随机变量的分布列与数学期望. 18. 如图，在四棱锥中，底面四边形为矩形，平面平面，，，，点为的中点. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值. 19. 如图，的内角、、的对边分别为、、，外一点（与在同一平面内）满足，，. （1）求； （2）若的面积为2，求线段的长. 20. 已知函数，且. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若关于不等式恒成立，其中是自然对数的底数，求实数的取值范围. 21. 已知点为抛物线的焦点，点，，且. （1）求抛物线的标准方程； （2）若斜率存在的直线过点且交抛物线于，两点，若直线，交抛物线于，两点（、与、不重合），求证：直线过定点. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. [选修4-4：坐标系与参数方程] 22. 在平面直角坐标系中，射线的方程为，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求射线和曲线的极坐标方程； （2）若射线与曲线交于点，将射线绕极点按逆时针方向旋转交于点，求的面积. [选修4-5：不等式选讲] 23. 设函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）若，，的最小值为，且，求证：. 2024届高三开学摸底联考