贵州省贵阳市第一中学2023-2024学年高三上学期开学考试（8月月考）数学试题

高2024届开学考试数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分。 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 2. 已知关于的方程有实根，则的值为（    ） A. 0 B. －1 C. D. 1 3. 已知为锐角，，则（    ） A. B. C. D. 4. 的展开式中的常数项为（ ） A. 20 B. 20 C. －10 D. 10 5. 设等比数列的前项和为，已知，，则（    ） A. 80 B. 160 C. 121 D. 242 6. 设函数，则使得 的的取值范围是（    ） A. B. C. D. 7. 已知分别是双曲线的左右焦点，若双曲线上一点满足，且直线交轴于点，则该双曲线的离心率为（    ） A. B. C. D. 8. 若，则（    ） A. B. C. D. 二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分。 9. 一组互不相等的样本数据，其平均数为，方差为，极差为，中位数为，去掉其中的最小值和最大值后，余下数据的平均数为，方差为，极差为，中位数为，则下列选项一定正确的有（    ） A. B. C. D. 10. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则下列结论正确的是（    ） A. B. C. 若，则的面积是 D. 若，则外接圆半径是 11. “奔跑吧少年”青少年阳光体育系列赛事活动于近日开赛，本次比赛的总冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积，托盘由边长为4的正三角形钢片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②则下列结论正确的是（    ）    A. 直线与平面所成的角为 B. 直线平面 C. 异面直线与所成的角的余弦值为 D. 球上的点离球托底面的最大距离为 12. 已知函数为自然对数的底数），，若，则下列结论正确的是（    ） A. B. C. D. 三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分。 13. . 14. 已知随机变量服从二项分布，则 . 15. 南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第20项为 . 16. 已知双曲线C：的左右焦点分别为，，点A在C上，点B在y轴上，，，则C的离心率为 . 四、解答题：共6小题，共70分。 17. （10分）已知数列是各项均为正数的等比数列，且，数列中. (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和为，数列满足，求数列的前项和. 18. （12分）已知的内角所对边分别为，. (1)若，求； (2)求的最大值. 19. （12分）如图，在直三棱柱中，，点为上一点，且平面. (1)求的值； (2)若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值. 20. （12分）抗体药物的研发是生物技术制药领域的一个重要组成部分，抗体药物的摄入量与体内抗体数量的关系成为研究抗体药物的一个重要方面.某研究团队收集了10组抗体药物的摄入量与体内抗体数量的数据，并对这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值，抗体药物摄入量为x（单位：），体内抗体数量为y（单位：）. 29.2 12 16 34.4    (1)根据经验，我们选择作为体内抗体数量y关于抗体药物摄入量x的回归方程，将两边取对数，得，可以看出与具有线性相关关系，试根据参考数据建立关于的回归方程，并预测抗体药物摄入量为时，体内抗体数量的值； (2)经技术改造后，该抗体药物的有效率z大幅提高，经试验统计得z服从正态分布，那这种抗体药物的有效率超过0.54的概率约为多少？ 附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，； ②若随机变量，则有，，； ③取. 21. （12分）已知点在椭圆C：上，点在椭圆C内.设点A，B为C的短轴的上、下端点，直线AM，BM分别与椭圆C相交于点E，F，且EA，EB的斜率之积为. (1)求椭圆C的方程； (2)记，分别为，的面积，若，求m的值. 22. （12分）已知函数，. (1)若函数在处的切线的斜率为，求实数a的值（e是自然对数的底数）； (2)若函数有且仅有两个零点，求实数a的取值范围. 高2024届开学考试数学试题参考答案 1—4：DADD 5—8：DCCC 9.ACD 10.AD 11.AD 12.ABD 1. 因为，。 所以，或，因此，. 2. 由方程有实根， 可得，