第一章 空间向量与立体几何 小结与复习-【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步课时教师用书word（人教A版）

第一章小结与复习 一、 知识网络·体系构建 二、 主题归纳·综合提升 主题1　空间向量的基本概念、基本定理和空间向量的线性运算  [2022·陕西省咸阳市高二期末改编题]如图,在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中,E是AA1的中点,M是底面ABCD的中心,点F,N分别在C1D1,BC1上,且D1F=2FC1,BN=3NC1,以{,,}作为空间的一个基底. (1) 用,,表示; (2) 若=m+n+t,记向量a=(m,n,t),试求. 例1 (1) 利用空间向量的加法法则,有=++,用共线向量的关系,将向量,,分别转化为,,,从而得到=++.　(2) 利用空间向量运算法则,将向量表示为=++,再利用空间向量基本定理得到m,n,t的值. (1) 因为E是AA1的中点,点F在C1D1上,且D1F=2FC1,所以=,=.又因为在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中,=,=,所以=++=++.　(2) 因为M是底面ABCD的中心,所以M是BD的中点,所以==(-).因为点N在BC1上,且BN=3NC1,所以==(+).因为在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中,=,=,所以=+=(-)+(+)=++.因为=m+n+t,由空间向量基本定理得m=,n=,t=,所以a=,得|a|==. 变式训练1 [2021·黑龙江省绥化市高二开学考试]如图,在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量: (1) ; (2) ; (3) +. 变式训练1 (1) 因为P是C1D1的中点,所以=++=a++=a+c+=a+b+c.　(2) 因为N是BC的中点,所以=++=-a+b+=-a+b+=-a+b+c.　(3) 因为M是AA1的中点,所以=+=+=-a+=a+b+c,又=+=+=+=c+a,所以+=+=a+b+c. 点评总结　用已知向量表示未知向量,一定要结合图形,可从以下角度入手:(1) 要有基向量意识,把有关向量尽量统一到基向量上来;(2) 把被表示向量用其他向量线性表示,进而寻找这些向量与基向量的关系;(3) 用基向量表示一个向量时,如果此向量的起点是从基底的公共点出发的,一般考虑用加法,否则考虑用减法,如果此向量与一个易求的向量共线,可用数乘;(4) 注意以下结论的应用:① 若A为BC的中点,O为空间任一点,则=;② 若A,B,C三点共线,O为空间任一点,则=(1-t)+t(t∈R). 设计意图　通过对本主题的探索研究,帮助学生熟悉空间向量的概念、空间向量基本定理和空间向量的线性运算,培养学生的空间想象能力,提升学生的逻辑推理和数学运算等素养. 主题2　空间向量的坐标运算及其应用  已知空间中三点A(2,0,-2),B(1,-1,-2),C(3,0,-4),设=a,=b. (1) 若|c|=3,且c∥,求向量c; (2) 已知向量ka+b与b互相垂直,求k的值; (3) 若点P(2,-1,m)在平面ABC上,求m的值. (1) 根据空间向量的运算法则,先求出的坐标,再根据共线可设c=λ,结合模长可求得c. (2) 利用向量的垂直得到它们的数量积为零,从而可求k的值.　(3) 因为点P(1,-1,m)在平面ABC上,则存在x,y使得=x+y,从而可得到关于x,y,m的方程组,故可求得m的值. (1) 因为B(1,-1,-2),C(3,0,-4),所以=(2,1,-2),因为c∥,可令c=λ=(2λ,λ,-2λ)(λ∈R),因为|c|=3,故=3,即9λ2=9,解得λ=±1,所以c=(2,1,-2)或c=(-2,-1,2).　(2) 因为A(2,0,-2),B(1,-1,-2),C(3,0,-4),所以=(-1,-1,0),=(1,0,-2),即a=(-1,-1,0),b=(1,0,-2),所以ka+b=(1-k,-k,-2),因为ka+b与b互相垂直,故(ka+b)·b=0,所以1-k+4=0,解得k=5.　(3) 因为点P(2,-1,m)在平面ABC上,故存在x,y使得=x+y,所以=(-x+y,-x,-2y),又=(0,-1,m+2),所以解得故m=-4. 变式训练2 [2021·辽宁省盘锦市高二期中]已知向量a=(-2,-1,2),b=(-1,1,2),c=(x,2,2). (1) 当|c|=2时,若向量ka+b与c垂直,求实数x和k的值; (2) 若向量c与向量a,b共面,求实数x的值. (1) 因为c=(x,2,2),且|c|=2,所以=2,解得x=0,则c=(0,2,2).因为a=(-2,-1,2),b=(-1,1,2),所以ka+b=(-2k-1,1-k,2k+2).因为向量ka+b与c垂直,所以(ka+b)·c=0,