第二章 直线和圆的方程 小结与复习-【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步课时教师用书word（人教A版）

第二章小结与复习 一、 知识网络·体系构建 二、 主题归纳·综合提升 主题1　直线与圆的方程的探究及函数与方程思想的应用  已知圆C经过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段的长为4,半径小于5. (1) 求圆C的方程; (2) 若直线l∥PQ,且l与圆C交于点A,B,且以线段AB为直径的圆经过坐标原点,求直线l的方程. (1) 运用直接法,根据题目的条件,求出圆心和半径,再代入圆的标准方程,即得所求圆的方程. (2) 由直线l∥PQ,可得直线l的斜率,运用待定系数法,设直线l的方程为y=-x+m(m≠2),求出待定系数m即可. (1) 由题意易得直线PQ的方程为x+y-2=0.设圆心C(a,b),半径为r,易知线段PQ的垂直平分线的方程是y-=x-,即y=x-1,所以b=a-1 ①.由圆C在y轴上截得线段的长为4,知r2=(2)2+a2,得(a+1)2+(b-3)2=12+a2 ②,由①②得a=1,b=0或a=5,b=4.当a=1,b=0时,r2=13,满足题意;当a=5,b=4时,r2=37,不满足题意.故圆C的方程为(x-1)2+y2=13.　(2) 设直线l的方程为y=-x+m(m≠2),A(x1,m-x1),B(x2,m-x2).由题意可知OA⊥OB,即·=0,所以x1x2+(m-x1)·(m-x2)=0,化简得2x1x2-m(x1+x2)+m2=0 ③.由得2x2-2(m+1)x+m2-12=0,所以x1+x2=m+1,x1x2=,代入③,得m2-12-m·(1+m)+m2=0,所以m=4或m=-3,经检验都满足题意,所以直线l的方程为x+y-4=0或x+y+3=0. 变式训练1 在平面直角坐标系中,已知圆心在直线x-2y=0上,圆C经过点A(4,0),但不经过坐标原点,并且直线4x-3y=0与圆C相交所得的弦长为4. (1) 求圆C的一般方程; (2) 若从点M(-4,1)发出的光线经过x轴反射,反射光线刚好通过圆C的圆心,求反射光线所在直线的方程(用一般式表达). (1) 设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2,因为圆心C在直线x-2y=0上,所以a-2b=0,又圆C经过点A(4,0),所以(4-a)2+b2=r2,而圆心到直线4x-3y=0的距离d==,易得d=,即=,从而可得或又(x-2)2+(y-1)2=5经过坐标原点,所以舍去.故圆C的标准方程为(x-6)2+(y-3)2=13,化为一般方程为x2+y2-12x-6y+32=0. (2) 点M(-4,1)关于x轴对称的点为N(-4,-1),反射光线所在的直线即为NC所在的直线,又C(6,3),所以反射光线所在直线的方程为=,所以反射光线所在直线的一般式方程为2x-5y+3=0. 点评总结　(1) 求直线的方程一般有以下两种方法:① 直接法:由题意确定出直线方程的适当形式,然后直接写出其方程;② 待定系数法:先由直线满足的条件设出直线方程,方程中含有待定的系数,再由题设条件求出待定系数,即得所求直线方程.(2) 求圆的方程一般也有两种方法:① 直接法:直接求出圆心坐标和半径,写出方程;② 待定系数法:一是选择圆的标准方程,求出a,b,r的值;二是选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值. 待定系数法是求直线与圆的方程的最基本的方法也是最常用的方法,先用待定系数表示出直线或圆的方程,再根据题目条件列出关于待定系数的方程(组),解方程(组)求出待定系数的值. 设计意图　通过对本主题的探索研究,使学生熟练掌握求直线和圆的方程的两种基本方法——直接法与待定系数法,学会根据题目的条件选择恰当的方法,注意通过对两种方法的运用,体会待定系数法的运用,感悟函数与方程的思想,培养数学抽象和数学运算等素养. 主题2　直线与圆的位置关系的探究及分类讨论思想的应用  已知直线l:4x+3y+10=0,半径为2的圆C与l相切,圆心C在x轴上且在直线l的右上方. (1) 求圆C的方程; (2) 过点M(1,0)的直线与圆C交于A,B两点(点A在x轴上方),问:在x轴正半轴上是否存在定点N,使得x轴平分∠ANB?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由. (1) 已知圆C的半径为2,只要求出圆心的坐标,代入圆的标准方程即可.　(2) 就AB是否垂直于x轴分两种情形讨论:当直线AB垂直于x轴时,显然在x轴正半轴上存在定点N,使得x轴平分∠ANB;当直线AB不垂直于x轴时,直线AB的方程可表示为y=k(x-1)(k≠0),假设存在N(t,0),由x轴平分∠ANB的条件求出t值,问题就迎刃而解了. (1) 由题意可设圆心C(a,0),则=2,解得a=0或a=-5(舍去).所以圆C的方程为x2+y2=4.　(2)