第一章 集合与常用逻辑用语 小结与复习-【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第一册+必修第二册同步课时教师用书word（人教A版）

第一章小结与复习 一、知识网络·体系构建 二、主题归纳·综合提升 主题1　对集合及其运算的理解以及分类讨论思想的应用  设x∈R,集合A={3,x,x2-2x}. (1) 求元素x应满足的条件; (2) 若-2∈A,求实数x. (1) 利用集合元素的互异性.　(2) 按-2=x或-2=x2-2x分类求解. (1) 根据元素的互异性,有所以x≠3且x≠0且x≠-1.　(2) 由-2∈A可知x=-2或x2-2x=-2,又方程x2-2x+2=0无解,故x=-2. 变式训练1 设集合A={x2,2x-1,-4},B={x-5,1-x,9}.若A∩B={9},求满足条件的x的值. A∩B={9},根据交集的定义,可知9是集合A的元素,因此有x2=9或2x-1=9,解得x=±3或x=5.当x=3时,A={-4,5,9},B={-2,-2,9},B中元素出现了重复,违背了集合元素的互异性,故舍去.当x=-3时,A={-4, -7,9},B={-8,4,9},A∩B={9},满足题意.当x=5时,A={-4,25,9},B={0,-4,9},此时A∩B={-4,9},与已知矛盾,故舍去.综上所述,x=-3. 【点评总结】 分类讨论思想的实质是把整体化为部分来解决问题.本题是与集合元素有关的分类讨论问题:集合中的元素具有确定性、无序性和互异性的特点,在分析集合所含元素的情况时,常常需要分类讨论以及利用元素特性检验. 已知全集为R,集合A={2≤x≤6},B={3x-7≥8-2x}. (1) 求A∩B; (2) 若C=,且“x∈A∩B”是“x∈C”的必要不充分条件,求a的取值范围. (1) 求出集合B,根据交集的定义直接求解.　(2) 依题意C⫋A∩B,再根据题意得到关于a的不等式,求解即可. (1) 因为B={x|3x-7≥8-2x}={x|x≥3},又A={2≤x≤6},所以A∩B={x|3≤x≤6}.　(2) 因为“x∈A∩B”是“x∈C”的必要不充分条件,所以C⫋A∩B.当C=∅时,4-a>a+4,解得a<0;当C≠∅时,有解得0≤a≤1.综上所述,a≤1. 变式训练2 [2022·山东省济南市高一期末改编题]已知集合A={x|1≤x<5},B={x|-a<x≤a+3},若B⊆(A∩B),求实数a的取值范围. 因为B⊆(A∩B),所以B⊆A.若B=∅,则-a≥a+3,解得a≤- ,满足B⊆A;若B≠∅,要使得B⊆A,则有解得-<a≤-1.综上所述,实数a的取值范围为{a|a≤-1}. 【点评总结】 与集合子集有关的分类讨论问题是集合中最常见的分类讨论问题,解题时需对已知集合的子集类型进行分类讨论,尤其要注意空集是任何集合的子集. 对于与空集特性有关的分类讨论问题,要注意空集不但具有“是任何集合的子集”这一特性,还具有其他特性,如A∩∅=∅,A∪∅=A,∁U∅=U等. 设计意图　分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异,区分不同的情况予以分析解决.需分类讨论的试题涉及较多的知识点,有利于对知识的深度理解和能力水平的提升.本主题中选择了两道例题,例1及变式训练1的目的是加深学生对集合概念、集合元素特征的认识与理解,提升逻辑推理能力;例2及变式训练2的目的是加深对集合运算及其性质的理解与掌握,提升数学运算能力与逻辑推理能力. 主题2　对充分条件和必要条件的理解与判断及数形结合思想的应用  [2022·山东省临沂市第一中学高一开学考试]设U为全集,A,B是其两个子集,则“存在集合C,使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的 (　　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 解答本题的关键是利用集合间的关系画出Venn图,从而判断充分条件和必要条件. 由图可知,若“存在集合C,使得A⊆C,B⊆∁UC”,则一定有“A∩B=∅”;反过来,若“A∩B=∅”,则一定能找到集合C,使A⊆C且B⊆∁UC.故选C. 例3答图 C 变式训练3 已知全集U={x∈N|0<x<6},集合A,B是U的子集,且满足A∩B={3},A∩(∁UB)={4},(∁UA)∩(∁UB)={1,5},则下列结论正确的是 (　　) A. 2∈A且2∈B B. 2∉A且2∈B C. 2∈A且2∉B D. 2∉A且2∉B 已知全集U={1,2,3,4,5},集合A,B是U的子集,且满足A∩B={3},A∩(∁UB)={4},(∁UA)∩(∁UB)={1,5}.故选B. 变式训练3答图 B 【点评总结】 进行集合运算时要注意数形结合思想的应用,将自然语言或符号语言转化为图形语言: (1) 离散型数集或抽象集合间的运算,常借助Venn图求解;(2) 连续型数集的运算,常借助数轴求解,运用数轴时要特别注意端点是实心