第七章 复数 小结与复习-【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第一册+必修第二册同步课时教师用书word（人教A版）

第七章小结与复习 一、 知识网络·体系构建 二、 主题归纳·综合提升 主题1　复数的概念及分类讨论思想的应用 [2021·江苏省扬州市广陵区校级期中]已知m∈R，复数z＝＋(m2－3m－18)i. (1) 当m为何值时，复数z为实数？ (2) 当m为何值时，复数z为虚数？ (3) 当m为何值时，复数z为纯虚数？ (1) 若复数z为实数，则虚部为0，由此可求得m的值．　(2) 若复数z为虚数，则虚部不为0，由此可求得m的值．　(3) 若复数z为纯虚数，则实部为0，且虚部不为0，由此可求得m的值． (1) 要使复数z为实数，则虚部为0，即m2－3m－18＝0，解得m＝6或m＝－3.∵当m＝－3时，实部没有意义，故m＝6. (2) 要使复数z为虚数，则虚部不为0，即m2－3m－18≠0，解得m≠－3且m≠6.　(3) 要使复数z为纯虚数，则实部为0，且虚部不为0，即解得m＝1或m＝－. 变式训练1复数z＝log3(x2－2x－2)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时： (1) z∈R? (2) z为虚数？ (3) z为纯虚数？ (1) 要使复数z为实数，则其虚部为0，∴ 解得x＝4.∴当x＝4时，z∈R.　(2) 要使复数z为虚数，则其虚部不等于0，∴解得 ∴3<x<4或x>4.∴当3<x<4或x>4时，z为虚数．　(3) 要使复数z为纯虚数，则其实部为0且虚部不为0，∴解得无解，∴复数z不可能是纯虚数． 点评总结　复数问题的求解，要注意紧扣相关的概念，根据概念将复数问题转化为实数问题来求解．当复数的实部与虚部含有字母时，利用复数的有关概念进行分类讨论，分别确定什么情况下该复数是实数、虚数、纯虚数．当x＋yi没有说明x，y∈R时，也要分情况讨论． 已知复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i. (1) 实数m取什么数值时，复数z与复数2－12i相等？ (2) 实数m取什么数值时，复数z与复数12＋16i互为共轭复数？ (3) 若m＝2，求复数z的模． 第(1)(2)小题，可利用两个复数相等的充要条件和共轭复数的概念，建立关于m的方程组，通过解方程组求出m的值；第(3)小题，运用复数模的概念直接计算即可． (1) 根据复数相等的充要条件得 解得m＝－1.　(2) 根据共轭复数的定义得 解得m＝1.　(3) 当m＝2时，z＝(22＋5×2＋6)＋(22－2×2－15)i＝20－15i，所以|z|＝＝25. 变式训练2已知复数z＝(m＋2)＋(3－2m)i. (1) 实数m取什么数值时，复数z与复数12＋17i互为共轭复数？ (2) 实数m取什么数值时，复数z的模取得最小值？求出此时的最小值． (1) 根据共轭复数的定义得解得m＝10. (2) |z|＝＝，当m＝时，复数的模取得最小值. 点评总结　两个复数相等、复数的模和共轭复数也都是复数中的重要概念，是实现复数问题向实数问题转化的重要依据，在解决复数问题时有广泛的应用，在学习中需要高度重视． 设计意图　复数知识的一个重要特点就是概念较多，这些概念是学好复数的基础，许多复数问题可以根据复数的相关概念探索解题思路，获得解题结果．例1及变式训练1主要考查了复数的有关概念，例2及变式训练2主要考查了两个复数相等、复数的模和共轭复数等概念，考查学生的运算求解能力，培养学生的数学运算素养． 主题2　复数的运算及转化与化归思想的应用 [2019·全国Ⅰ卷(文)]设z＝，则的值为(　　) A. 2　　B. 　　C. 　　D. 1 思路一：运用复数的除法，化复数为z＝a＋bi的形式，然后求模．思路二：利用模的性质＝. 方法1：z＝＝＝－i，∴＝＝.故选C.方法2：＝＝＝＝＝.故选C. C 变式训练3设复数z满足＝i，则的值为(　　) A. 2　　B. 　　C. 　　D. 1 由＝i得1＋z＝i(1－z)，∴(1＋i)z＝－1＋i，∴|1＋i|·|z|＝|－1＋i|，∴＝1.故选D. D 点评总结　转化与化归就是把已知条件转化为需要的形式．例3及变式训练3这类题首先利用复数的运算法则将复数转化为z＝a＋bi的形式，然后利用＝或直接运用复数的模的性质来计算，考查数学运算素养． [2021·河北省石家庄市期末]已知i是虚数单位，复数z＝，则z的共轭复数z－在复平面内对应的点位于(　　) A. 第一象限　　B. 第二象限　　 C. 第三象限　　D. 第四象限 由z＝化简得z＝－＋i，然后根据共轭复数的定义，得到z－，再确定z－在复平面内对应的点所在的象限． z＝＝＝＝＝＝－＋i，∴z－＝－－i，z－对应点的坐标为，在第三象限．故选C. C 变式训练4 已知ω＝－＋i，求证： (1) (1－ω)(1－ω2)(1－ω4)(1－ω5)＝9； (2) (1－ω＋ω2)(1－ω2＋ω4