2.1.1 等式的性质与方程的解集（教学课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（人教B版2019必修第一册）

2023-2024学年高一数学同步精品教学课件 2.1.1等式的性质与方程的解集 第二章 等式与不等式 高一必修第一册（2019人教B版） ①学习目标 ②新知导入 ③新知探索 ④教材例题 ⑤课堂练习 ⑥课堂总结 ⑦作业布置 1.了解恒等式，掌握常见的恒等式，会用“十字相乘法”分解二次三项式.（重点） 2.能利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，求一些方程的解集.（难点） 学习目标 新知导入 情景一：初中学习的十字相乘法分解因式的关键是什么？ 提示：把二次项和常数项分解，交叉相乘，得到两个因数，再把两个因数相加，看它们的和是不是正好等于一次项系数. 新知导入 情景二：把方程通过适当变换后，求出的未知数的值都是这个方程的解(根)吗？ 提示：把方程通过变换，求出的未知数的值不一定是这个方程的根，也可能是这个方程的增根. (2)等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式, 等式仍成立. 我们已经学习过等式的性质: 新知探索 知识点一：等式的性质 (1) 等式的两边同时加上同一个数或代数式, 等式仍成立; (2)如果 , 则对任意不为零的 , 都有 因为减去一个数等于加上这个数的相反数, 除以一个数等于乘以这个数的倒数, 因此上述等式性质中的 “加上” 与 “乘以”, 如果分别改为 “减去” 与 “除以”, 结论仍成立. 尝试与发现：用符号语言和量词表示上述等式的性质 新知探索 知识点一：等式的性质 (1)如果 , 则对任意 , 都有 尝试与发现：补全下列（1）（2）中的两个公式, 然后将下列含有字母的等式进行分类, 并说出分类的标准: 新知探索 知识点二：恒等式 (1) (平方差公式); (2) 2＋2＋ 2 (两数和的平方公式); (3) ; (4) ; (5) ; (6) . 如果从量词的角度来对以上 6 个等式进行分类的话, 可以知道, 等式(1)、(2)、(4)、(5)对任意实数都成立, 而等式(3)、(5)只是存在实数使其成立. 新知探索 知识点二：恒等式 例如 只有 时成立, 取其他数时都不成立. 一般地, 含有字母的等式, 如果其中的字母取任意实数时等式都成立, 则称其为恒等式, 也称等式两边恒等. 新知探索 知识点二：恒等式 恒等式是进行代数变形的依据之一. 例如, 因为 对任意 都成立, 所以可用其他代数式去替换其中的 , 等式仍会成立, 由此就得到了以前学过的两数差的平方公式. 若用 替换其中的 , 则 新知探索 知识点二：恒等式 == ②a2－b2＝(a＋b)(a－b)； ③a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)； a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2). 常见的代数恒等式 新知探索 知识点二：恒等式 ①(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2； ＝x2＋6xy＋9y2－(9x2＋6xy＋y2) ＝x2＋6xy＋9y2－9x2－6xy－y2＝8y2－8x2. 化简：(x＋3y)2－(3x＋y)2＝________. 即时训练 知识点二：恒等式 【解析】(x＋3y)2－(3x＋y)2 利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形, 可以得到一些方程的解集. 我们知道, 方程的解 (或根) 是指能使方程左右两边相等的未知数的值. 新知探索 知识点三：方程的解集 一般地, 把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集. 不难知道, 利用类似的方法可以得到所有一元一次方程的解集. 例如, 对于方程 来说, 首先在等式两边同时加上-5 , 可得 新知探索 知识点三：方程的解集 然后在上述等式两边同时乘以 , 则得 , 因此可知方程 的解集为 . 利用这一结论, 我们可以得到一些方程的解集. 从小学开始我们就知道, 任意两个非零的实数, 它们的乘积不可能是零, 因此: 新知探索 知识点三：方程的解集 如果 , 则 或 . 因此方程 的解集为 . 例如, 由方程 1) 新知探索 知识点三：方程的解集 可知 或, 从而 或 , (2)化积，利用提取公因式法、公式法、十字相乘法等将一元二次方程的左边分解为两个一次因式的积； (3)转化，两个因式分别为0，转化为两个一 元一次方程； (4)求解，解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 求一元二次方程的解集的一般步骤 新知探索 知识点三：方程的解集 (1)移项，将一元二次方程的右边化为0； 故原方程的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，1)). 【典例】求方程4x2－3x－1＝0的解集. 即时训练 知识点三：方程的解集 【解析】因为4x2－3x－1＝(x－1)(4x＋1)， 所以