3.4.2用向量方法研究立体几何中的位置关系（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第一册）

3.4.2　用向量方法研究立体几何中的位置关系 我们已经把向量从平面推广到空间，并利用空间向量解决了一些有关空间位置关系和度量的问题． 我们发现，建立空间向量与几何要素的对应关系是利用空间向量解决立体几何问题的关键．本节我们进一步运用空间向量研究立体几何中有关直线、 平面的位置关系和度量问题． 因为直线的方向向量与平面的法向量是确定直线和平面位置的关键因素，所以可以利用直线的方向向量和平面的法向量表示空间直线与平面间的平行、垂直等位置关系. 设向量l，m分别是直线l，m的方向向量， 𝑛₁,𝑛₂分别是平面α，β的法向量，尝试用直线的方向向量和平面的法向量表达下列各种位置关系，并思考如何用向量方法证明这些问题. 复习引入 平行关系： 图示 图示 图示 复习引入 例1答案 垂直关系 图示 图示 图示 学习新知 例1答案2 1.设 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下列条件,判断l1,l2的位置关系. 平行 垂直 平行 巩固练习 1.设 分别是平面α,β的法向量,根据下列条件,判断α,β的位置关系. 垂直 平行 相交 巩固练习 用向量解决平行与垂直 有的问题比较简单，只是将几何语言转化为向量语言，如证明两条直线平行可以转化为证明这两条直线的方向向量是否共线.但有的问题较为复杂，不仅仅是几何语言与向量语言的转化，还涉及证明的方法，如用向量方法证明l∥α，可以有以下几种思路： 思路1 若只从直线的方向向量和平面的法向量入手考虑，设向量l是直线l的方向向量，n₁是平面α的法向量，则只需证明l⊥n₁. 思路2 考虑向量与平面平行的定义，以及平面向量基本定理，从而得到如下证明方法：将直线l的方向向量l用平面α的一组基线性表示，此时必有l∥α. 用向量解决平行与垂直解读 思路3直接将线面平行的判定定理向量化，找到m⊂α，且直线l与m的方向向量共线.  由此可知，运用向量证明几何问题的方法，一方面源于立体几何中定理的向量化表述，另一方面也需要结合向量自身的特点.  设向量l，m分别是直线l，m的方向向量， 分别是平面α，β的法向量，则 直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交且双垂且，那么该直线与此平面垂直. 已知:如图, ,b是平面α内的两条相交直线,直线n⊥ 𝑎,且n⊥b.求证:n⊥α, 分析 设m是平面α内的任意一条直线，要证明n⊥α，只需证明n⊥m.如何充分运用条件，表达“m是平面α内的任意一条直线”呢?可以考虑将直线m的方向向量用平面α的一组基表示. 证明 设m是平面α内的任意一条直线， ,b,m,n依次为直线,b,m，n的方向向量，因为直线𝑎 ，b相交，所以向量，b不共线.在平面a内，根据平面向量基本定理可知存在唯一的实数对(x，y)使得m=x 𝑎 +yb, 故n · m=xn · +yn · b. 因为n⊥ 𝒂,n ⊥b,所以n · =0,n · b=0, 所以n·m=0,故n⊥m. 所以n⊥α. 两个平面平行的判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.  已知:如图, ,b是平面α内的两条相交直线,且∥β,b∥β 求证: α ∥β 证明 设向量，b分别是直线，b的方向向量.  因为∥β,b∥β,所以∥β,b∥β  设n是平面β的法向量,则n⊥ ,n⊥b.  因为直线，b是平面α内的两条相交直线，所以n⊥ α.所以a∥β 由线线垂直可以得到线面垂直，再由线面垂直又可以得到线线垂直。 平面的斜线、斜线在平面内的射影 P A B 图1 α 图2 如图2，ＰＡ∩α＝Ａ，ＰＡ不垂直α, 思考：平面的斜线在平面内的射影是什么图形？ 答案：仍是一条直线BA 直线PA --------叫做平面α的斜线； 点A叫做斜足. 线段PA叫做斜线段. 三垂线定理 P m B A α 证明： PA 平面PAB ∪ m⊥PA PB⊥α m α ∪ PB⊥m BA⊥m m⊥平面PAB 性质定理 判定定理 性质定理 线面垂直 ① 线线垂直 ② 线面垂直 ③ 线线垂直 三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 一面——平面α（基础平面） ； 四线——PB（ α的垂线）， PA（斜线），BA（射影）， m（ α内的直线）） 三垂直——PB ⊥ m,, BA ⊥ m, PA⊥ m 故称“三垂线定理” 一面四线三垂直 三垂线定理中的元素（1） P m B A α 直线a 一定要在平面内，如果 a 不在平面内，定理就不一定成立。 P A O a α 例如