精品解析：平行四边形01讲核心

考点1 平行四边的性质和判定 1．定义：两组对边分别平行或相等的四边形叫做平行四边形． 平行四边形的定义既是性质，又是判定． 2．平行四边形的性质： （1）对边平行且相等； 如图，在中，，，=，=， （2）对角相等；邻角互补； 如图，=，=，+=180，+=180， （3）对角线互相平分； 如图，，， （4）是中心对称图形．如图，对称中心是对角线交点O． （5）S平行四边形=底×高 3．平行四边形的判定 元素 文字表述 图形表述 符号表述 边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵ ∴ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵，， ∴ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵，=， ∴ 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵=，=， ∴ 任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形 ∵+=180，+=180， ∴ 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵=，=， ∴ 考点2 两条平行线之间的距离 1．定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离． 2．性质： （1）两条平行线之间的距离处处相等； （2）夹在两条平行线间的平行线段相等． 考点3 三角形的中位线及其定理 1．定义：连接三角形两边中点的线段（任意一个三角形都有三条中位线）． 2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 考点4 矩形的性质和判定 1．矩形的定义： （1）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也称为长方形． （2）矩形的定义有两个要素： ①四边形是平行四边形； ②有一个角是直角． 二者缺一不可． 2．矩形的性质 （1）具有平行四边形的所有性质； （2）四个角都是直角；如图，； （3）对角线互相平分且相等；如图，， （4）矩形是轴对称图形，也是中心对称图形． （5）矩形的面积：S矩形-=长×宽 3．矩形的判定 判定方法 文字表述 图形表述 符号表述 判定方法一 有一个角是直角的平行四边形是矩形 ∵=90， ∴矩形 判定方法二 有三个角是直角的四边形是矩形 ∵===90， ∴矩形 判定方法三 对角线相等的平行四边形的四边形是矩形 ∵=， ∴矩形 考点5 直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图，； 【注意】定理的条件有两个：一是直角三角形；二是斜边上的中线． 考点6 菱形的性质和判定 1．菱形的定义： （1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 菱形必须满足两个条件：一是四边形必须是平行四边形；二是邻边相等．不要错误地认为有一组邻边相等的四边形是菱形． （2）菱形是除矩形外的又一种特殊的平行四边形，即有一组邻边相等的平行四边形．菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定方法． 2．菱形的性质 （1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等；如图，； （3）两条对角线垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角；如图，； （4）菱形是轴对称图形，也是中心对称图形． （5）菱形的面积：S菱形=底×高= 4．菱形的判定 判定方法 文字表述 图形表述 符号表述 判定方法一 一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵， ∴菱形 判定方法二 四条边相等的四边形是菱形 ∵ ∴菱形ABCD 判定方法三 对角线垂直的平行四边形是矩形 ∵ ∴菱形 考点7 正方形的性质和判定 1．正方形的定义： （1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思： ①有一组邻边相等的平行四边形（即菱形）； ②并且有一个角是直角的平行四边形（即矩形）． （3）正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形． 2．正方形的性质 （1）对边平行； （2）四个角都是直角； （3）四条边都相等； （4）对角线互相垂直且平分，对角线平分对角； （5）两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （6）正方形是轴对称图形，也是中心对称图形． （7）面积=边长×边长＝； 3．正方形的判定 （1）根据正方形的定义； （2）有一组邻边相等的矩形是正方形； （3）有一个角是直角的菱形是正方形； （4）既是矩形又是菱形的四边形是正方形． 平行四边形的性质和判定 1．平行四边形性质和判定的联系 平行四边形的性质 平行四边形的判定 平行四边形的两组对边分别平行 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 平行四边形的两组对边分别相等 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 平行四边形的两组对角分别相等 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 平行四