四川省泸县第四中学2023-2024学年高三上学期开学考试文科数学试题

泸县四中高2021级高三上学期开学考试 文科数学 第I卷 选择题（60分） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数，则 A． B． C． D． 2．已知一组数据的频率分布直方图如图所示，则数据的中位数估计值为 A．64 B．65 C．64.5 D．66 3．成立的充要条件是 A． B． C． D．或 4．曲线在处的切线方程是 A． B． C． D． 5．函数的图象大致是 A．B．C．D． 6．直线与圆相交，则点与圆的位置关系是 A．在圆上 B．在圆内 C．在圆外 D．不确定 7．很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以再加1；如果它是偶数，则将它除以；如此循环，最终都能够得到.下图为研究“角谷猜想”的一个程序框图.若输入的值为，则输出i的值为 A． B． C． D． 8．设为正数，若，则的最小值为 A．6 B．9 C．12 D．15 9．经研究发现：某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得信息素浓度y满足函数（A，K为非零常数）．已知释放1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为a，则释放信息素4秒后，信息素浓度为的位置距释放处的距离为（    ）米． A． B．2 C． D．4 10．若，，，则 A． B． C． D． 11．在三棱柱中，，侧棱底面ABC，若该三棱柱的所有顶点都在同一个球O的表面上，且球O的表面积的最小值为，则该三棱柱的侧面积为 A． B． C． D．3 12．若函数在区间上有零点，则的最小值为 A． B． C． D． 第II卷 非选择题（90分） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知向量，，且满足，则 . 14．若实数、满足，则目标函数的取值范围为 . 15．将某个圆锥体沿着母线和底面圆周剪开后展开，所得的平面图形是一个圆和扇形，已知该扇形的半径为，圆心角为，则圆锥的体积是 . 16．已知双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为，则双曲线的方程为 ． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分。 17．为庆祝神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，某学校开展了航天知识竞赛活动，共有100人参加了这次竞赛，已知所有参赛学生的成绩均位于区间，将他们的成绩（满分100分）分成五组依次为，，，，，制成如图所示的频率分布直方图. (1)试估计这100人的竞赛成绩的平均数； (2)采用按比例分配的分层抽样的方法，从竞赛成绩在内的学生中随机抽取6人作为航天知识宣讲使者，再从第四组和第五组的使者中随机抽取2人作为组长，求这2人来自同一组的概率. 18．某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍薨”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分别是边长为4的正方形的三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接就得到了一个“刍甍”（如图2）. (1)若O是四边形对角线的交点，求证：平面； (2)若，求三棱锥的体积. 19．高二理科班有60名同学参加某次考试，从中随机抽选出5名同学，他们的数学成绩与物理成绩如下表： 数学成绩 140 130 120 110 100 物理成绩 110 90 100 80 70 数据表明与之间有较强的线性关系. （Ⅰ）求关于的线性回归方程，并估计该班某同学的数学成绩为90分时该同学的物理成绩； （Ⅱ）本次考试中，规定数学成绩达到125分为数学优秀，物理成绩达到100分为物理优秀.若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且所有同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有6人，请你在答卷页上填写下面列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？ 物理优秀 物理不优秀 合计 数学优秀 数学不优秀 合计 参考公式及数据：回归直线的系数，，，，.， . 20．已知 （1）若的单调递减区间是，求实数的值 （2）若，且对任意，都有，求实数的取值范围 21．已知椭圆C：的离心率，短轴长为． (1)求椭圆C的方程； (2)已知经过定点的直线l与椭圆相交于A，B两点，且与直线相交于点Q，如果