江苏省南通市通州区金沙中学2022-2023学年高二下学期4月学业水平质量调研数学试卷

南通市通州区金沙中学 高二年级第二学期4月学业水平质量调研 数学试卷 2023.04 (时间:120分钟 分值:150分) 一、单选题(本大题共8小题,共40.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项) 1. 如图所示,空间四边形OABC中,,,,点M在OA上,且M为OA中点,N为BC中点,则等于( ) A. B. C. D. 2. 从2名教师和5名学生中,选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动。要求入选的3人中至少有一名教师,则不同的选取方案的种数是( ) A. 20 B. 55 C. 30 D. 25 3. 设x、,向量,且,,则( ) A. B. C. 4 D. 3 4. 一不透明的口袋内装有若干个形状、质地完全相同的红色和黄色小球.若事件“第一次摸出红球且第二次摸出黄球”的概率为,事件“在第一次摸出红球的条件下,第二次摸出黄球”的概率为,则事件“第一次摸出红球”的概率为( ) A. B. C. D. 5. 的展开式中含项的系数为4,则实数( ) A. B. C. 2 D. 4 6. 若点A,B分别是函数与图象上的动点其中e是自然对数的底数,则AB的最小值为( ) A. B. C. D. 17 7. 若是函数的极大值点,则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 8. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中,对同余除法有较深的研究.设a,b,为整数,若a和b被m除得的余数相同,则称a和b对模m同余,记为,若,,则b的值可以是( ) A. 2022 B. 2021 C. 2020 D. 2019 二、多选题(本大题共4小题,共20.0分。在每小题有多项符合题目要求) 9. 已知空间向量,,则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 与夹角的余弦值为 10. 甲箱中有3个白球和3个黑球,乙箱中有2个白球和4个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中,分别以,表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件;再从乙箱中随机取出一球,以B表示从乙箱中取出的球是黑球的事件,则下列结论正确的是( ) A. ,两两互斥 B. C. 事件B与事件相互独立 D. 11. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》给出了著名的杨辉三角,由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有( ) A. 由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想: B. 由“在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想: C. 由“第n行所有数之和为”猜想: D. 由“,,”猜想 12. 已知函数,,函数和的导数分别为,,则( ) A. 的最大值为1 B. C. D. 当时,恒成立 三、填空题(本大题共4小题,共20.0分) 13. 曲线在点处的切线方程为_. 14. 已知,,,若,,三向量共面,则实数等于_. 15. 2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”,有着可爱的外表和丰富的寓意,深受各国人民的喜爱.某商店有4个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上,要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列,则不同的排列方法种数为_用数字作答 16. 数学家波利亚说:“为了得到一个方程,我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来,即将一个量算两次从而建立相等关系”这就是算两次原理,又称为富比尼原理.由等式利用算两次原理可得_. 四、解答题(本大题共6小题,共70.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. 本小题分 有两个个条件:①在时取得极大值②函数在处的切线方程为.这两个条件中,请选择一个合适的条件将下面的题目补充完整只要填写序号,并解答本题. 题目:已知函数存在极值,并且_. 求的解析式; 当时,求函数的最值. 18. 本小题分 某兴趣小组有9名学生.若从9名学生中选取3人,选取的3人中恰好有一个女生的概率是 该小组中男女学生各多少人? 个学生站成一列队,现要求女生保持相对顺序不变即女生前后顺序保持不变重新站队,问有多少种重新站队的方法?要求用数字作答 名学生站成一列,要求男生必须两两站在一起,有多少种站队的方法?要求用数字作答 19. 本小题分 如图,正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直,,,M是AB的中点. 求证:; 求点B到平面EAC的距离; 已知点P在线段EC上,且直线AP与平面ABE所成的角为,求出的值. 20. 本小题分 如图1,已知等边的边长为3,点M,N分别是边AB,AC上的点,且满足,,如图2,将沿MN折起到的位置. 求证:平面平面BCNM; 若,求平面和平面的夹角的正弦值. 21. 本小题分 请先阅读:在等式的两边求导,得:,由求导法则,得,化简得等式: 利用上述的想法,结合等式正整数 求的值. 求证: