第1章 专题一 因式分解的方法 -(习题课件)【优+学案】2023-2024学年八年级上册数学课时通(鲁教版五四制)

年级上册·鲁教版 数 学 第一章　因式分解 专题一　因式分解的方法 ⁠分组分解法 1.先阅读下列材料，再因式分解. 要把多项式am＋an＋bm＋bn因式分解，可以先把它的前两项分成一组，并提出a；再把它的后两项分成一组，并提出b，从而得到a（m＋n）＋b（m＋n）.这时由于a（m＋n）与b（m＋n）又有公因式（m＋n），于是可提出公因式（m＋n），从而得到（m＋n）（a＋b）.因此有am＋an＋bm＋bn＝（am＋an）＋（bm＋bn）＝a（m＋n）＋b（m＋n）＝（m＋n）（a＋b）. 请用上面提供的方法分解因式： （1）a2－ab＋ac－bc；　（2）2xy＋x2－1＋y2. 解：（1）原式＝（a2－ab）＋（ac－bc）＝a（a－b）＋c（a－b）＝（a－b）（a＋c）. 解：（2）原式＝（x2＋2xy＋y2）－1＝（x＋y）2－1＝（x＋y＋1）（x＋y－1）. 2.把下列各式因式分解： （1）4x2－2x－y2－y； 解：原式＝（4x2－y2）－（2x＋y）＝（2x＋y）（2x－y）－（2x＋y）＝（2x＋y）（2x－y－1）. （2）a2＋b2－9＋2ab. 解：原式＝a2＋2ab＋b2－9＝（a＋b）2－9＝（a＋b＋3）（a＋b－3）. ⁠十字相乘法 3.用“十字相乘法”因式分解： （1）x2－5x－36；　　 （2）x2＋3x－18； 　解：x2＋3x－18＝（x＋6）（x－3）. （3）2x2－3x＋1；　 　 （4）6x2＋5x－6. 解：2x2－3x＋1＝（2x－1）（x－1）.　　 解：x2－5x－36＝（x－9）（x＋4）.　　 　　解：6x2＋5x－6＝（2x＋3）（3x－2）. ⁠4.必考题 由多项式乘法：（x＋a）（x＋b）＝x2＋（a＋b）x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋（a＋b）x＋ab＝（x＋a）（x＋b）. 示例：因式分解：x2＋5x＋6＝x2＋（2＋3）x＋2×3＝（x＋2）（x＋3）. （1）尝试：因式分解：x2＋6x＋8＝（x＋ 　2　⁠）（x＋ 　4　⁠）. 2　 4　 （2）应用：已知多项式2x2－bx＋c，甲同学看错了常数项，因式分解为2（x－3）（x＋2），乙同学看错了一次项系数，因式分解为2（x－3）（x＋4），请将原多项式因式分解. 解：甲：2（x－3）（x＋2）＝2x2－2x－12，乙：2（x－3）（x＋4）＝2x2＋2x－24.∵甲同学看错了常数项，但没有看错一次项系数，乙同学看错了一次项系数，但没有看错常数项，∴b＝2，c＝－24.∴原多项式为2x2－2x－24.∴正确的因式分解为2x2－2x－24＝2（x－4）（x＋3）. ⁠添（拆）项法 5.我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实多项式的因式分解还有别的方法，下面介绍一种方法：“添（拆）项分组分解法”. 例题： x3＋8＝x3＋2x2－2x2＋8（添上2x2，再减去2x2，使多项式的值不变） ＝（x3＋2x2）－（2x2－8）（分成两组） ＝x2（x＋2）－2（x＋2）（x－2）（两组分别因式分解） ＝ 　（x＋2）（x2－2x＋4）　⁠.（两组有公因式，再提公因式） （1）请将上面的例题补充完整. （x＋2）（x2－2x＋4）　 （2）仿照上述方法因式分解：64x4＋1. 解：（2）64x4＋1＝64x4＋16x2＋1－16x2＝（8x2）2＋2·8x2·1＋12－16x2＝（8x2＋1）2－（4x）2＝（8x2＋1＋4x）（8x2＋1－4x）. （3）若a，b，c是△ABC的三边长，且满足3a2＋4b2－6a－16b＋19＝0，c为整数，试判断△ABC的形状，并说明理由. 解：（3）△ABC是等腰三角形.理由如下： ∵3a2＋4b2－6a－16b＋19＝0， ∴3a2－6a＋3＋4b2－16b＋16＝0， ∴3（a2－2a＋1）＋4（b2－4b＋4）＝0， ∴3（a－1）2＋4（b－2）2＝0， ∴a－1＝0，b－2＝0，∴a＝1，b＝2. ∵a，b，c是△ABC的三边长，∴b－a＜c＜b＋a，∴1＜c＜3.又∵c为整数，∴c＝2， ∴b＝c＝2，∴△ABC是等腰三角形. 6.把下列各式因式分解： （1）4x4＋1； 解：原式＝4x4＋4x2＋1－4x2＝（2x2＋1）2－4x2＝（2x2＋2x＋1）（2x2－2x＋1）. （2）x4＋4y4. 解：原式＝x4＋4y4＋4x2y2－4x2y2 ＝（x2＋2y2）2－（2xy）2 ＝（x2＋2y2＋2xy）（x2＋2y2－2xy）. ⁠换元法 7.阅读下列材料： 在因