第12章 专题四 构造全等三角形的方法技巧（辅助线问题）-(习题课件)【优+学案】2023-2024学年八年级上册数学课时通(人教版)河北专版

年级上册·RJ河北专用 数 学 第十二章　全等三角形 专题四　构造全等三角形的方法技巧（辅助线问题） ⁠连公共边法 1.小明用四根木条摆成如图所示的四边形，其中AB＝AC，BD＝CD，当他不断改变∠A的大小，使这个四边形的形状发生变化时，他发现∠B与∠C的大小存在着一个规律，请你猜想∠B与∠C的大小关系，并证明你的猜想. 解：∠B＝∠C.证明：连接AD.在△ABD和△ACD中， ∴△ABD≌△ACD（SSS）， ∴∠B＝∠C. ⁠截长补短法 2.如图所示，已知AC∥BD，AE，BE分别平分∠CAB，∠DBA，CD经过点E.试说明：AB＝AC＋BD. 解：如图所示，在AB上截取AF＝AC，连接EF. 在△ACE和△AFE中， ∴△ACE≌△AFE（SAS）.∴∠C＝∠5. ∵AC∥BD，∴∠C＋∠D＝180°. ∵∠5＋∠6＝180°，∴∠6＝∠D. 在△FBE和△DBE中， ∴△FBE≌△DBE（AAS）.∴FB＝DB.∴AB＝AF＋FB＝AC＋BD. ⁠倍长中线法 3.如图所示，在△ABC中，BD＝AC，∠CAD＝∠CDA，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE. 证明：如图所示，延长AE到F，使EF＝AE，连接DF. 在△ACE和△FDE中， ∴△ACE≌△FDE（SAS），∴AC＝FD，∠C＝∠CDF. ∵∠CAD＝∠CDA，从而∠CAD＋∠C＝∠ADC＋∠CDF＝∠ADF. ∵∠ADB为△ACD的一个外角，∴∠ADB＝∠C＋∠CAD，即∠ADB＝∠ADF. ∵BD＝AC，AC＝FD，∴BD＝FD.在△ABD和△AFD中， ∴△ABD≌△AFD（SAS）， ∴∠1＝∠2，即AD平分∠BAE. ⁠作角平分线或平行线法 4.如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，且AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝45°，点D是AC的中点，AE⊥BD于点F，交BC于点E，连接DE. 求证：（1）∠BAF＝∠ADB. 证明：（1）∵∠BAC＝90°， ∴∠BAF＋∠DAF＝90°. ∵AE⊥BD，∴∠AFD＝90°，∴∠DAF＋∠ADB＝90°， ∴∠BAF＝∠ADB. （2）∠ADB＝∠EDC. 证明：（2）如图所示，过点C作CM⊥AC，交AE的延长线于点M，则∠ACM＝90°＝∠BAC，∴CM∥AB， ∴∠MCE＝∠ABC＝∠ACB. ∵∠BAF＋∠FAD＝90°，∠ABD＋∠BAF＝90°， ∴∠ABD＝∠CAM. 在△ABD和△CAM中， ∴△ABD≌△CAM（ASA），∴∠ADB＝∠M，AD＝CM. ∵D为AC的中点，∴AD＝DC＝CM. 在△CDE和△CME中， ∴△CDE≌△CME（SAS），∴∠M＝∠EDC. ∵∠M＝∠ADB，∴∠ADB＝∠EDC. $$