第11章 专题一 运用数学思想解决三角形（或多边形）中的计算问题-(习题课件)【优+学案】2023-2024学年八年级上册数学课时通(人教版)河北专版

年级上册·RJ河北专用 数 学 第十一章　三角形 专题一　运用数学思想解决三角形（或多边形）中的计算问题 ⁠转化思想 1.如图所示，在七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线相交于点O，若图中∠1，∠2，∠3，∠4的外角的度数和为210°，求∠BOD的度数. 解：∵∠1，∠2，∠3，∠4的外角的度数和为210°， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋210°＝4×180°， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝510°. ∵五边形OAGFE的内角和＝（5－2）×180°＝540°， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠BOD＝540°， ∴∠BOD＝540°－510°＝30°. 2.如图所示，在△ABC中，∠C＞∠B，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线. （1）已知∠B＝30°，∠C＝50°.求： ①∠CAE的度数； ②∠DAE的度数. 解：（1）①∵在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°， ∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－30°－50°＝100°. ∵AE是△ABC的角平分线，∴AE平分∠BAC. ∴∠CAE＝∠BAC＝×100°＝50°. ②∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC.∴∠ADC＝90°.又∵∠C＝50°， ∴∠CAD＝90°－50°＝40°.∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝50°－40°＝10°. （2）若∠C－∠B＝20°，求∠DAE的度数. 解：（2）设∠B＝x，则∠C＝20°＋x. ∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－x－（20°＋x）＝160°－2x. ∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAC＝（160°－2x）＝80°－x. ∵在Rt△ADC中，∠CAD＝90°－∠C＝90°－（20°＋x）＝70°－x，∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝（80°－x）－（70°－x）＝10°. ⁠方程思想 3.用一条长为15 cm的细绳围成一个等腰三角形.如果腰长是底边长的2倍，那么这个等腰三角形各边的长是多少？ 解：设这个等腰三角形的底边长是x cm，则这个等腰三角形的腰长是2x cm.根据题意，得2x＋2x＋x＝15，解得x＝3，则2x＝6，所以这个等腰三角形的各边长分别为3 cm，6 cm，6 cm. 4.在各个内角都相等的多边形中，一个外角比一个内角少120°，求这个多边形的一个内角的度数和它的边数. 解：设这个多边形一个外角的度数是x，则这个多边形一个内角的度数是120°＋x，依题意有x＋120°＋x＝180°， 解得x＝30°，所以120°＋x＝150°， 而任何多边形的外角和都是360°， 则这个多边形的边数是360°÷30°＝12， 故这个多边形的边数是12，每个内角的度数是150°. ⁠整体思想 5.如图所示，直角三角形的两条直角边AC，BC分别经过正九边形的两个顶点，求图中∠1＋∠2的度数. 解：如图所示，正九边形每个内角度数是＝140°. ∴∠DEF＝∠EFM＝140°. ∵∠C＝90°，∴∠CEF＋∠CFE＝90°， ∴∠1＋∠2＝∠DEF＋∠EFM－（∠CEF＋∠CFE） ＝140°＋140°－90°＝190°. 6.如图所示，点A，B，C，D，E在同一平面内，连接AB，BC，CD，DE，EA，若∠BCD＝100°，求∠A＋∠B＋∠D＋∠E的度数. 解：如图所示，连接BD. ∵四边形的内角和为360°， ∴∠A＋∠ABD＋∠BDE＋∠E＝360°. ∵∠CBD＋∠CDB＝180°－∠BCD＝80°， ∴∠A＋∠ABC＋∠CDE＋∠E＝360°－（∠CBD＋∠CDB）＝280°. ⁠分类讨论思想 7.如图所示，在△ABC中，AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和BC的长. 解：∵AD是BC边上的中线，AC＝2BC，∴BD＝CD. 设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝4x， 分为两种情况：①AC＋CD＝60，AB＋BD＝40，则4x＋x＝60，x＋y＝40，解得x＝12，y＝28，即AC＝4x＝48，AB＝28，BC＝2x＝24； ②AC＋CD＝40，AB＋BD＝60，则4x＋x＝40， x＋y＝60，解得x＝8，y＝52，即AC＝4x＝32，AB＝52，BC＝2x＝16，此时不符合三角形三边关系定理.综上所述，AC＝48，BC＝24. ⁠特殊到一般思想 8.阅读与理解： 三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积，即如图①所示，AD是△ABC中BC边上的中线，则S△ABD＝S△ACD＝S△ABC. 理由：∵BD＝CD，∴S△ABD＝BD×AH＝CD×AH＝S△ACD＝S△ABC， 即等底同高的三角形面积相等. 操作与探索： 如图所示，在图②至图④中，△ABC的面积为a. （1）如图②所示，延长△ABC的边BC到点D，使CD＝BC，连接