第1章 专题一 最短路程问题-(习题课件)【优+学案】2023-2024学年八年级上册数学课时通(北师大版)

年级上册·BS 数 学 第一章　勾股定理 专题一　最短路程问题 应用一： 平面图形上的最短路程问题 ⁠“捷径”问题 1.如图所示，有一块边长为40米的正方形绿地ABCD，在绿地旁边E处有健身器材，BE＝9米.由于居住在A处的居民去健身践踏了绿地，小明想在A处竖立一个标牌“少走■米，踏之何忍”.请你计算后帮小明在标语牌的■处填上适当的数. 解：在 Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2＝AB2＋BE2＝402＋92＝412， 所以AE＝41米. 因为AB＋BE＝40＋9＝49（米），49－41＝8（米）， 所以标牌上填的数是8. ⁠“饮水”问题 2.如图所示，牧民在河边A处放牛，家在河边B处.傍晚，牧民驱赶牛群先到河边饮水，然后在天黑前赶回家，已知A点到河边C的距离为500米，点B到河边D处的距离为700米，且CD＝500米. （1）请在原图上画出牧民驱赶牛群在哪点饮水回家的路线最短. 解：（1）如图所示，作点A关于直线CD的对称点A'，连接A'B交CD于点P，点P即为所求作的点. （2）求出最短路线的长度. 解：（2）由作图可得最短路线的长度为A'B的长，过点A'作A'F⊥BD交BD的延长线于点F，则DF＝A'C＝AC＝500米，A'F＝CD＝500米，BF＝700＋500＝1 200（米）.根据勾股定理，得A'B2＝1 2002＋5002＝1 3002， 所以A'B＝1 300米. 所以最短路线的长度为1 300米. 应用二：立体图形上的最短路程问题 ⁠圆柱体上的最短路程问题 3.如图所示，已知圆柱底面的周长为12 cm，圆柱高为8 cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（　B　） A.10 cm B.20 cm C. cm D.100 cm B 4.如图所示是一底面周长为24 m，高为6 m的圆柱形油罐，一只老鼠欲从距地面1 m的A处沿侧面爬行到对角B处吃食物，请算出老鼠爬行的最短路程为多少？ 解：沿AC和BD将圆柱的侧面剪开平铺在平面上，过点A作AE⊥BD于点E，如图所示， 因为底面周长为24 m，高为6 m， 所以AE＝12 m，BE＝6－1＝5（m）. 在Rt△AEB中，由勾股定理，得AB2＝AE2＋BE2＝122＋52＝132， 所以AB＝13 m， 所以老鼠爬行的最短路程为13 m. ⁠正方体上的最短路程问题 5.如图所示，在正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现在要向点B爬行，已知正方体的棱长为3 cm，BC＝1 cm，则爬行的最短距离是多少？ 解：将正方体蚂蚁爬行经过的两个面展开，如图所示. 在Rt△ADB中， 因为∠ADB＝90°， CD＝3 cm，BC＝1 cm，BD＝3＋1＝4（cm）. 由勾股定理，得AB2＝32＋42＝25， 所以AB＝5 cm. 所以爬行的最短距离是5 cm. ⁠长方体上的最短路程问题 ⁠6.必考题如图所示，长方体的底面棱长分别为1 cm和3 cm，高为6 cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短为多少厘米？ 解：如图所示，将长方体的侧面展开，连接AB’. 因为AA'＝1＋3＋1＋3＝8（厘米），A'B'＝6厘米. 由勾股定理得，AB'2＝82＋62 ＝100，AB'＝10厘米. 所以所用细线最短为10厘米. 7.如图所示，一个放置在地面上的长方体，长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，点B与点C的距离为5 cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？ 解：将长方体的右侧面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图①所示.根据勾股定理，得AB2＝102＋（20＋5）2＝725； 将长方形的右侧面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图②所示.根据勾股定理，得AB2＝202＋（5＋10）2＝625； 将长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图③所示.根据勾股定理，得AB2＝52＋（20＋10）2＝925. 因为925＞725＞625，252＝625， 所以需要爬行的最短距离是25 cm. ⁠台阶上的最短路程问题 8.六块完全相同的长方体方砖如图所示整齐的叠在一起，其中AE＝1 dm，DE＝3 dm，BC＝6 dm.若一只蚂蚁要从点A处爬到点B处，则它爬行的最短距离为多少？ 解：如图所示， 蚂蚁爬行的最短路径的平方＝（3＋1＋3＋1）2＋62＝102， 所以蚂蚁爬行的最短路径为10 dm. $$