专题2.5 线圆最值 （隐圆压轴二）-2023-2024学年九年级数学上册《重难点题型•高分突破》（苏科版）

专题2.5 线圆最值 考点：线圆最值 已知O及直线l，O的半径为r，点Q为O上一点，圆心O与直线l之间的距离为d. 位置关系 直线与O相离 直线与O相切 直线与O相交 图示 点Q到直线l距离的最大值 d＋r 2r d＋r 此时点Q的位置 过点O作直线l的垂线，其反向延长线与O的交点，即为点Q 点Q到直线l距离的最小值 d－r 0 r－d 此时点Q的位置 过点O作直线l的垂线，与O的交点即为点Q 拓展：在解决某些面积最值问题时，常利用此模型，将问题转化为求动点到定边的最大（小）距离，进而利用面积公式求解 【典例1】如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB＝4，点E是AB的中点，点P是矩形ABCD内一点，且EP＝AE，连接CP，PD，则△PCD面积的最小值为 　 　． 【变式1-1】（2022•观山湖区一模）如图，点P是正六边形ABCDEF内一点，AB＝4，当∠APB＝90°时，连接PD，则线段PD的最小值是（　　） A． B． C．6 D． 【变式1-2】（安徽一模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝3，点D是BC边上一动点，连接AD交以CD为直径的圆于点E．则线段BE长度的最小值为（　　） A．1 B． C． D． 【典例2】如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC＝6，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，且BD＝2AD，DE∥BC，点M是DE的中点，连接BM，CM．将△ADE绕点A逆时针旋转，则在旋转过程中，△BMC面积的最大值为 　 　． 【变式2-1】（思明区校级期中）如图，在△ABC中，BC＝2，点A为动点，在点A运动的过程中始终有∠BAC＝45°，则△ABC面积的最大值为 　　． 【典例3】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P是矩形ABCD内一点，且∠BPC＝90°，连接AP，PD，则△APD面积的最小值为 　 ． 【变式3-1】如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，P是直线AB上的一个动点，AE＝2，△APE沿PE翻折形成△FPE，连接PF、EF，则FC的最小值是 　 　，点F到线段BC的最短距离是 　 　． 【变式3-2】如图，P是矩形ABCD内一点，AB＝4，AD＝2，AP⊥BP，则当线段DP最短时，CP＝　 　． 【变式3-3】（2022•邗江区校级开学）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，点P是AB边上的一个动点，以BP为直径的圆交CP于点Q，若线段AQ长度的最小值是4，则△ABC的面积为 　 　． 【典例4】如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'B，A'C，则△A'BC面积的最小值为 　 　． 【典例5】如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，点D是AC边上一点，点E是平面内一点，且DE＝1，连接AE，CE，则四边形ABCE面积的最大值为 　 　 ． 【变式5】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，∠BCD＝90°，AB＝12，BC＝16．点M是AB上一点，AM＝4，点N是四边形ABCD内一点，且DN＝5，连接CN，MN． （1）当M，N，D三点共线时，求MN的长； （2）求四边形BCNM面积的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 $$ 专题2.5 线圆最值 考点：线圆最值 已知O及直线l，O的半径为r，点Q为O上一点，圆心O与直线l之间的距离为d. 位置关系 直线与O相离 直线与O相切 直线与O相交 图示 点Q到直线l距离的最大值 d＋r 2r d＋r 此时点Q的位置 过点O作直线l的垂线，其反向延长线与O的交点，即为点Q 点Q到直线l距离的最小值 d－r 0 r－d 此时点Q的位置 过点O作直线l的垂线，与O的交点即为点Q 拓展：在解决某些面积最值问题时，常利用此模型，将问题转化为求动点到定边的最大（小）距离，进而利用面积公式求解 【典例1】如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB＝4，点E是AB的中点，点P是矩形ABCD内一点，且EP＝AE，连接CP，PD，则△PCD面积的最小值为 　 　． 【答案】3 【解答】解：∵BC＝2AB＝4， ∴AB＝2， •点E是AB 的中点， ∴AE＝BE＝1．； ∴点P在以点E为圆心，1为半径的弧上运动， 过点 P作PQ⊥CD 于点Q， 过点E作EF⊥CD于点F， 则＝PQ， ∴当PQ最小时，△PCD 的面积取得最小值•EP+PQ≥EF， 当E，P，Q三点共线时，PQ取得最小值，最小值为EF﹣EP的值； ∴四边形