第09讲 高考难点突破一：圆锥曲线的综合问题（定点问题精讲）-【学霸之路】2024年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（新教材新高考）

第09讲 高考难点突破一：圆锥曲线的综合问题（定点问题） 目录 高频考点一：角度1：椭圆中的直线过定点问题 1 高频考点二：椭圆中存在定点满足某条件问题 4 高频考点三：双曲线中的直线过定点问题 7 高频考点四：双曲线存在定点满足某条件问题 10 高频考点五：抛物线中的直线过定点问题 13 高频考点六：抛物线存在定点满足某条件问题 15 高频考点一：角度1：椭圆中的直线过定点问题 典型例题 例题1．（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期末）已知椭圆C：的离心率是，点在上． (1)求的方程； (2)直线l:交于，两点（不同于点），直线，与轴的交点分别为，，线段的中点为，证明：直线过定点，并求出定点坐标． 例题2．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知点，在椭圆 上. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于两个不同的点（异于），过作轴的垂线分别交直线于点，当是中点时，证明．直线过定点. 例题3．（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切． (1)求椭圆的方程； (2)设过点的直线与椭圆相交于、两点，是点关于轴的对称点．试问：直线是否恒过一定点？并说明理由． 同类题型归类练 1．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）已知动圆经过点，并且与圆相切． (1)求点的轨迹的方程； (2)动直线过点，且与轨迹分别交于，两点，点与点关于轴对称（点与点不重合），求证：直线恒过定点．    2．（2023春·西藏日喀则·高二统考期末）已知椭圆过点，长轴长为. (1)求椭圆的方程及其焦距； (2)直线与椭圆交于不同的两点，直线分别与直线交于点，为坐标原点且，求证：直线过定点，并求出定点坐标. 3．（2023春·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期中）已知椭圆的离心率为，上顶点的坐标为， (1)求椭圆C的方程． (2)若椭圆C下顶点是B，M是C上一点（不与A，B重合），直线AM与直线交于点P，直线BP交椭圆C于点N．求证：直线MN过定点． 高频考点二：椭圆中存在定点满足某条件问题 典型例题 例题1．（2023春·山东青岛·高二统考期中）中国结是一种手工编制工艺品，因其外观对称精致，符合中国传统装饰的审美观念，广受中国人喜爱. 它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的“八字结”对应着数学曲线中的伯努利双纽线. 在平面上，我们把与定点，距离之积等于的动点的轨迹称为伯努利双纽线，，为该曲线的两个焦点. 数学家雅各布•伯努利曾将该曲线作为椭圆的一种类比开展研究. 已知曲线是一条伯努利双纽线. (1)求曲线的焦点，的坐标； (2)试判断曲线上是否存在两个不同的点，（异于坐标原点），使得以为直径的圆过坐标原点.如果存在，求出，坐标；如果不存在，请说明理由. 例题2．（2023春·湖南·高二校联考期中）已知椭圆：的焦距为，，分别为的左，右焦点，过的直线与椭圆交于，两点，的周长为8． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点且斜率不为零的直线与椭圆交于，两点，试问：在轴上是否存在一个定点，使得．若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由． 例题3．（2023秋·北京丰台·高二统考期末）已知椭圆过点，两点． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点． （i）若点坐标为，直线，分别与轴交于，两点．求证：； （ii）若点坐标为，直线的方程为，椭圆上存在定点，使直线，分别与直线交于，两点，且．请直接写出点的坐标，结论不需证明． 同类题型归类练 1．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知为坐标原点，，，和交点为. (1)求点的轨迹； (2)直线和曲线交与两点，试判断是否存在定点使？如果存在，求出点坐标，不存在请说明理由. 2．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）如图，双曲线的中心在原点，焦点到渐近线的距离为，左、右顶点分别为．曲线是以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴，且离心率为的椭圆，设在第一象限且在双曲线上，直线交椭圆于点，直线与椭圆交于另一点．    (1)求椭圆及双曲线的标准方程； (2)设与轴交于点，是否存在点使得（其中为点的横坐标），若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 3．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）已知椭圆的左右焦点分别为，分别为椭圆的上，下顶点，到直线的距离为． (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于不同的两点，直线分别交x轴于两点．问：y轴上是否存在点R，使得？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由． 高频考点三：双曲线中的直线过定点问题 典型例题 例题1．（2023秋·福建宁德·高二统考期末）双曲线，恰好过中的三点. (1)求双曲线的方程； (2)记双曲线上不同的三点，其中为双曲线的右顶点，若直线的斜率之积为1，证明：直