福建省莆田第二中学2023-2024学年高二上学期返校考试数学试卷

莆田二中2025届高二返校考数学考试试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．设，则（    ） A． B． C． D． 2．已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（    ） A． B． C． D． 3．设直线l的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 7．已知O为的外心，且．若向量在向量上的投影向量为，其中，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．在棱长为的正方体中，为的中点，点在正方体各棱及表面上运动且满足，则点轨迹所围成图形的面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 9．已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的是（    ） A．的一个方向向量为 B．的一个法向量为 C．与直线平行 D．与直线垂直 10．有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（    ） A．的平均数等于的平均数 B．的中位数等于的中位数 C．的标准差不小于的标准差 D．的极差不大于的极差 11．如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为奇数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（    ） A．事件与互斥 B． C．事件与相互独立 D． 12．下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（    ） A．直径为的球体 B．所有棱长均为的四面体 C．底面直径为，高为的圆柱体 D．底面直径为，高为的圆柱体 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知向量，满足，，则 ． 14．过点且在轴、轴上截距相等的直线方程为 . 15．甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为．假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲胜第一局，乙胜第二局的概率为 ． 16．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，，则四棱锥外接球表面积为 ；若点是线段上的动点，则的最小值为 ． 四、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（10分）甲、乙两人进行乒乓球比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响.有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制（先胜2局者获胜，比赛结束）；方案二：五局三胜制（先胜3局者获胜，比赛结束）. (1)若选择方案一，求甲获胜的概率； (2)用抛掷骰子的方式决定比赛方案，抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向上的点数，若“两枚骰子向上的点数之和不大于6”则选择方案一；否则选择方案二.判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由. 18．（12分）已知直线的方程为． (1)求直线过的定点P 的坐标； (2)直线与x 轴正半轴和y 轴正半轴分别交于点A，B ，当面积最小时，求直线的方程； 19．（12分）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，． (1)证明：； (2)点在棱上，当二面角为时，求． 20．（12分）已知的顶点，边上的高所在的直线方程为． (1)求直线的方程； (2)在两个条件中任选一个，补充在下面问题中． ①角A的平分线所在直线方程为 ②BC边上的中线所在的直线方程为 ______，求直线的方程． 21．（12分）为庆祝“五四”青年节，广州市有关单位举行了“五四”青年节团知识竞赛活动，为了解全市参赛者成绩的情况，从所有参赛者中随机抽样抽取名，将其成绩整理后分为组，画出频率分布直方图如图所示（最低分，最高分），但是第一、二两组数据丢失，只知道第二组的频率是第一组的倍. (1)求第一组、第二组的频率各是多少？ (2)现划定成绩大于或等于上四分位数即第百分位数为“良好”以上等级，根据直方图，估计全市“良好”以上等级的成绩范围（保留位小数）； (3)现知道直方图中成绩在内的平均数为，方差为，在内的平均数为，方差为，求成绩在内的平均数和方差. 22．（12分）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，二面角为直二面角. (1)求证：平面