1.2 空间向量在立体几何中的应用-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册随堂练习（人教B版）

新课程能力培养 1. 若 A （ 1 ， 0 ， 1 ）， B （ 2 ， 3 ， 4 ） 在直线 l 上， 则直线 l 的一个 方向向量是 （ ） A. （ -1 ， 3 ， 3 ） B. （ 1 ， 3 ， 3 ） C. （ 3 ， 3 ， 5 ） D. （ 2 ， 4 ， 6 ） 2. 向量 a＝ （ x ， 1 ， -2 ）， b＝ （ 3 ， x ， 4 ）， a⊥b ， 则 x＝ （ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 0 3. 直线 l 1 与 l 2 不重合， 直线 l 1 的方向向量为 v 1 ＝ （ -1 ， 1 ， 2 ）， 直线 l 2 的方向向量为 v 2 （ -2 ， 0 ， -1 ）， 则直线 l 1 与 l 2 的位置 关系为 . 4. 已知向量 a＝ （ 1 ， 0 ， -1 ）， 向量 b＝ （ 2 姨 ， 0 ， 0 ）， 则 〈 a ， b 〉 ＝ . 5. 在直三棱柱 ABC鄄A 1 B 1 C 1 中 ， ∠BCA＝90° ， M ， N 分别是 A 1 B 1 ， A 1 C 1 的中点， BC＝CA＝CC 1 ， 求 BM 与 AN 所成角的余 弦值 . 1.2 空间向量在立体几何中的应用 1.2.1 空间中的点、 直线与空间向量 6 随堂练习 1. 若直线 l 的方向向量 a＝ （ 1 ， 2 ， -1 ）， 平面 α 的一个法向量 m＝ （ -2 ， -4 ， k ）， 若 l⊥α ， 则实数 k＝ （ ） A. 2 B. -10 C. -2 D. 10 2. 已知平面 α 的法向量为 a＝ （ 1 ， 2 ， -2 ）， 平面 β 的法向量为 b＝ （ -2 ， -4 ， k ）， 若 α⊥β ， 则 k＝ （ ） A. 4 B. -4 C. 5 D. -5 3. 若两个向量 A "# B ＝ （ 1 ， 2 ， 3 ）， A "$ C ＝ （ 3 ， 2 ， 1 ）， 则平面 ABC 的一个法向量为 （ ） A. （ -1 ， 2 ， -1 ） B. （ 1 ， 2 ， 1 ） C. （ 1 ， 2 ， -1 ） D. （ -1 ， 2 ， 1 ） 4. 已知直线 l 与平面 α 垂直 ， 直线 l 的一个方向向量 u＝ （ 1 ， -3 ， z ）， 向量 v＝ （ 3 ， -2 ， 1 ） 与平面 α 平行， 则 z＝ . 1.2.2 空间中的平面与空间向量 7 新课程能力培养 5. 如图 所 示 ， 在 直 三 棱 柱 ABC鄄A 1 B 1 C 1 中 ， ∠ACB ＝90° ， ∠BAC＝30° ， BC＝1 ， AA 1 ＝ 6 姨 ， M 是 CC 1 中点 ， 求证 ： AB 1 ⊥A 1 M. M A B C A 1 B 1 C 1 第 5 题图 8 随堂练习 1. 若直线 l 与平面 α 所成角为 π 3 ， 直线 a 在平面 α 内， 且与 直线 l 异面 ， 则直线 l 与直线 a 所成角的取值范围是 （ ） A. 0 ， 2π 3 3 " B. π 2 ， 2π 3 3 " C. π 3 ， 2π 3 3 " D. π 3 ， π 2 3 " 2. 已知长方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中， AB＝BC＝4 ， CC 1 ＝2 ， 则直线 BC 1 和平面 DBB 1 D 1 所成角的正弦值为 （ ） A. 3 姨 2 B. 5 姨 2 C. 10 姨 5 D. 10 姨 10 3. 若平面 α 的一个法向量为 （ 1 ， 1 ， 1 ）， 直线 l 的方向向量 为 （ 0 ， 3 ， 4 ）， 则 l 与 α 所成角的正弦值为 . 4. 在正三棱锥 P鄄ABC 中， PA＝4 ， AB＝ 3 姨 ， 则侧棱 PA 与底 面 ABC 所成角的正弦值为 . 1.2.3 直线与平面的夹角 9 新课程能力培养 5. 在正四棱锥 S鄄ABCD 中， O 为顶点在底面上的射影， P 为侧 棱 SD 的中点 ， 且 SO＝OD ， 求直线 BC 与平面 PAC 所成 的角 . 10 随堂练习 1. 三棱锥 A鄄BCD 中， 平面 ABD 与平面 BCD 的法向量分别 为 n 1 · n 2 ， 若 〈 n 1 ， n 2 〉 ＝ π 3 ， 则二面角 A鄄BD鄄C 的大小为 （ ） A. π 3 B. 2π 3 C. π 3 或 2π 3 D. π 6 或 π 3 2. 已知 △ABC 和 △BCD 均为边长为 a 的等边三角形， 且 AD＝ 3 姨 2 a ， 则二面角 A鄄BC鄄D 的大小为 （ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 3. 如图所示， 在正四棱锥 P鄄ABCD 中， 若 △PAC 的面积与正 四