周周练2 空间向量的应用(范围：1.2)-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（人教B版）

**基本信息** 聚焦空间向量工具性应用，通过多题型覆盖法向量、空间角与距离、线面关系等核心考点，强化几何直观与运算推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间向量基础应用|3单1多2填|法向量求法、共线/共面判断|从向量数量积推导线面垂直判定，建立坐标法解题框架| |空间角与距离计算|3单1多1填|面面角、线线角、点面距离|通过坐标运算实现空间几何量代数化，体现转化思想| |线面关系证明与探索|3解答|线面平行、垂直证明及动态问题|以正方体、三棱柱等为载体，融合几何建模与逻辑推理|

周周练2　空间向量的应用(范围：1.2) 一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，－3，0)在平面α内，若点B(m，0，2－m)在平面α内，则m的值为(　　) A．－2 B．0 C．1 D．2 解析：选A.由题意得＝(m＋1，3，2－m)，因为平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，所以n⊥，即n·＝－2×(m＋1)－2×3＋2－m＝0，解得m＝－2. 2．已知向量m＝(1，2，－1)，n＝(t，1，－t)，且m⊥平面α，n⊥平面β，若平面α与平面β所成角的余弦值为，则实数t的值为(　　) A．或－1 B．或1 C．－1或2 D．－ 解析：选B.因为m＝(1，2，－1)，n＝(t，1，－t)，所以m·n＝2＋2t，|m|＝，|n|＝，因为m⊥平面α，n⊥平面β，平面α与平面β所成角的余弦值为， 所以＝，化简得5t2－6t＋1＝0，解得t＝或t＝1. 3．一架无人机正在执行巡检任务，其当前位于点A(2，2，4)，另外有一条高压电缆沿直线铺设，电缆经过B(1，2，3)，C(2，3，4)两点，为确保安全，需要计算无人机到电缆的距离，则当前距离为(　　) A． B． C．3 D．5 解析：选B.由题意得＝(1，1，1)，＝(1，0，1)，则＝，所以点A到直线BC的距离为＝＝. 4．如图， 在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，点D是棱AB的中点，则平面ABC与平面B1CD所成角的正弦值为(　　) A． B． C． D．1 解析：选C.如图， 以C为坐标原点建立空间直角坐标系，令AC＝2， 则C(0，0，0)，D(1，1，0)，B1(0，2，2)，所以＝(1，1，0)，＝(0，2，2)，设平面B1CD的法向量n＝(x，y，z)， 则 令x＝1，则y＝－1，z＝1，所以n＝(1，－1，1)， 又易知平面ABC的法向量m＝(0，0，1)， 故cos 〈n，m〉＝＝＝， 设平面ABC与平面B1CD所成的角为θ，θ∈(0，]，则cos θ＝， 故平面ABC与平面B1CD所成角的正弦值为sin θ＝＝. 5．《九章算术》 是我国古代数学名著．书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．如图，在“阳马”P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，E，F分别为PD，PB的中点，G为直线CP上的动点，PA＝2，AB＝1，若AG⊥平面EFC，则＝(　　) A. B． C． D． 解析：选B. 因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，所以以A为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设AD＝a，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，C(1，a，0)，E(0，，1)，F(，0，1)，所以＝(，－，0)，＝(0，0，2)，＝(1，a，－2)，＝(1，，－1)， 设平面EFC的法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝a，得y＝1，z＝，所以n＝(a，1，)， 设＝λ，因为＝＋＝＋λ＝(λ，aλ，2－2λ)， 因为AG⊥平面EFC，则∥n，所以＝＝，解得λ＝，则＝. 6．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，且满足＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1，则||的最小值是(　　) A． B． C． D． 解析：选A.由题意及共面向量定理得，D1，E，A，C四点共面，即点E在平面D1AC上，||的最小值为点D到平面D1AC的距离． 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，2)，所以＝(－2，2，0)，＝(－2，0，2)，＝(2，0，0)， 设平面D1AC的法向量为n＝(x，y，z)，则有取x＝1，则n＝(1，1，1)，所以点D到平面D1AC的距离d＝＝＝，即||的最小值为. 二、多项选择题(本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 7．已知空间中三点A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，则下列结论正确的是(　　) A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是 C．平面ABC的一个法向量是(1，－2，5) D．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点共面 解析：选BCD.对于A，＝(2，1，0)，＝(－1，2，1)， 因为≠，所以与不是共线向量，故A错误； 对于B，与同向的单位向量是＝(2，1，0)＝，故B正确； 对于C，设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则取x＝1，得n＝(1，－2，5)，故C正确； 对于D，由A知，A，B，C三点不共线，若＝＋＋，且＋＋＝1，所以P，A，B，C四点共面，故D正确． 8．若正方体ABCD­A1B1C1D1外接球的半径为，球心为O，E，F分别是AB，BC的中点，则(　　) A．AB＝2 B．直线OE与FD1所成的角为 C．点O到平面EFD1的距离为 D．平面EFD1截球O所得截面的面积为 解析：选ABD.对于A，设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，可得体对角线长为a，因为正方体外接球的半径为，所以a＝2，解得a＝2，所以AB＝2，所以A正确； 对于B，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可得O(1，1，1)，E(2，1，0)，F(1，2，0)，D1(0，0，2)，所以＝(1，0，－1)，＝(－1，－2，2)，则＝＝，所以直线OE与FD1所成的角为，所以B正确； 对于C，＝(－1，1，0)，设平面EFD1的法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝2，可得y＝2，z＝3，所以n＝(2，2，3)，又由向量＝(1，0，－1)，所以点O到平面EFD1的距离为＝，所以C错误； 对于D，平面EFD1截球O所得的截面是一个圆，设该圆的半径为r，则r2＝2－2＝，所以平面EFD1截球O所得截面的面积为πr2＝，所以D正确． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．) 9．已知A(－1，2，0)，B(1，2，0)，C(2，－1，3)，点P(x，0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为________． 解析：由题可得＝(－1－x，2，－z)，＝(2，0，0)，＝(3，－3，3)， 因为PA⊥平面ABC，所以 即 解得则P(－1，0，－2). 答案：(－1，0，－2) 10．如图， 在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中心，P是棱A1B1上的任意点，则直线BM与OP所成角的大小为________． 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，A1P＝x(0≤x≤2)，则O(1，1，0)，P(2，x，2)，B(2，2，0)，M(0，2，1)，＝(1，x－1，2)，＝(－2，0，1)，所以·＝0，则BM⊥OP， 所以直线BM与OP所成角的大小为. 答案： 11．如图， PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，PA＝AB＝2，若OG∥平面EFC，则AG＝________． 解析：如图所示，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，由题意可得P(0，0，2)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，C(2，2，0)，O(1，1，0)， 则F(1，0，1)，E(0，1，1)，所以＝(1，2，－1)，＝(－1，1，0)， 设平面EFC的法向量为n＝(x，y，z)， 则 即 令x＝1，则n＝(1，1，3). 因为OG∥平面EFC，则n·＝0， 设G(0，0，a)，0≤a≤2， 则＝(－1，－1，a)， 所以－1－1＋3a＝0，解得a＝， 所以G(0，0，)，即AG＝. 答案： 四、解答题(本题共3小题，共43分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．) 12. (本小题满分13分)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，△ABC是正三角形，侧面ABB1A1是边长为2的菱形，D是BC的中点． (1)求证：A1B∥平面AC1D；(6分) (2)若BB1⊥平面ABC，判断直线A1B1与平面AC1D的位置关系，并加以证明．(7分) 解：(1)证明：在三棱柱ABC­A1B1C1中，连接A1C，设A1C∩AC1＝E，则E为A1C的中点，连接DE， 由D是BC的中点，得DE∥A1B，又DE⊂平面AC1D，A1B⊄平面AC1D，所以A1B∥平面AC1D. (2) 直线A1B1与平面AC1D相交．在三棱柱ABC­A1B1C1中，取B1C1的中点F，连接DF，由D为BC的中点，得DF∥BB1，由BB1⊥平面ABC，得DF⊥平面ABC， 由△ABC为正三角形，且D为BC的中点，得AD⊥BC. 于是直线DC，DF，DA两两垂直， 以点D为坐标原点，直线DC，DF，DA分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，A(0，0，)，B(－1，0，0)，C1(1，2，0)，＝(1，2，0)，＝(0，0，)， 设平面AC1D的法向量为n＝(x，y，z)，则取y＝1，得n＝(－2，1，0)， 而＝(－1，0，－)，A1B1∥AB，且A1B1＝AB，则＝(－1，0，－)， 由·n＝2≠0，且≠，得与n既不垂直也不平行， 因此A1B1⊄平面AC1D，且A1B1与平面AC1D既不平行也不垂直， 所以直线A1B1与平面AC1D相交． 13．(本小题满分15分)如图，在三棱台ABC­A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝4，AA1＝A1B1＝2，若AA1⊥平面ABC，点D是棱C1C的中点． (1)证明：BB1⊥平面AB1C；(7分) (2)求二面角A­BD­C的余弦值．(8分) 解：(1)证明：以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 根据题意可得A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(0，4，0)，B1(2，0，2)，C1(0，2，2)，D(0，3，1)， 则＝(－2，0，2)，＝(0，4，0)，＝(2，0，2)， 设平面AB1C的法向量为n＝(d，e，f)， 则解得e＝0，令d＝1，即f＝－1，则n＝(1，0，－1)， 所以＝－2n，则∥n， 所以BB1⊥平面AB1C. (2)由(1)知＝(－4，4，0)，＝(0，－1，1)， 设平面BCD的法向量为m＝(x，y，z)， 则令y＝1，即x＝1，z＝1，即m＝(1，1，1)， 由(1)知，＝(4，0，0)，＝(0，3，1)， 设平面ABD的法向量为e＝(a，b，c)， 则解得a＝0，令b＝1，则c＝－3，即e＝(0，1，－3)， 则cos 〈m，e〉＝＝＝－，由图易知二面角A­BD­C的平面角为钝角， 所以二面角A­BD­C的余弦值为－. 14．(本小题满分15分)如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，＝2，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，若M为线段A1C上的点，满足＝2，设二面角A1­DE­A的平面角为θ. (1)求证：直线BM∥平面A1DE；(4分) (2)当θ为直角时，求点D到平面A1BE的距离；(5分) (3)在△ADE翻折过程中(点A1不在平面BCDE内)，求线段BA1长度的取值范围．(6分) 解：(1)证明：如图1，在线段A1D上取点N，使得DN＝2NA1， 连接MN，EN，因为＝2，所以MN∥DC，MN＝DC，因为＝2，AB∥DC，AB＝DC，所以MN∥EB，MN＝EB，所以四边形MNEB是平行四边形，所以BM∥EN，因为EN⊂平面A1DE，BM⊄平面A1DE，所以直线BM∥平面A1DE. (2)由题意得，AD＝AE＝A1D＝A1E＝2，△ADE，△A1DE为等腰直角三角形， 取DE的中点O，连接OA，OA1，则OA⊥DE，OA1⊥DE， 故∠AOA1为二面角A1­DE­A的平面角，即∠AOA1＝θ.因为θ＝，所以∠AOA1＝，OA⊥OA1.如图2，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0，，0)， A1(0，0, )，E(0，－，0)，B(，－，0)，所以＝，＝(0，，)，＝(0，2，0)， 设平面A1BE的法向量为n＝(x，y，z)，则 令x＝1，得y＝1，z＝－1，所以n＝(1，1，－1)，所以点D到平面A1BE的距离为d＝＝＝. (3)如图3，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，在△ADE翻折过程中， 由题意知，二面角A1­DE­A的平面角θ∈(0，π)，∠A1Oz＝＝， 则A1(－cos θ，0，sin θ)， 由(2)知B， 所以BA＝2＋2＋(－sin θ)2＝2cos θ＋7， 又因为θ∈(0，π)，所以cos θ∈(－1，1)， 所以BA1＝∈(，3). 故线段BA1长度的取值范围是(，3). 学科网（北京）股份有限公司 $