2.8 直线与圆锥曲线的位置关系-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册随堂练习（人教B版）

随堂练习 1. 直线 y=kx+2 与椭圆 x 2 3 + y 2 2 =1 有且只有一个交点， 则 k 的值 是 （ ） A. 6 姨 3 B. - 6 姨 3 C. ± 6 姨 3 D. ± 3 姨 3 2. 直线 y=kx-k 与椭圆 x 2 9 + y 2 4 =1 的位置关系为 （ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 3. （多选题） 以 y 轴为对称轴的抛物线的通径 （过焦点且与 对称轴垂直的弦） 长为 8 ， 若抛物线的顶点在坐标原点， 则其方程为 （ ） A. y 2 =8x B. y 2 =-8x C. x 2 =8y D. x 2 =-8y 4. 若直线 l ： y=x+ 3 2 与抛物线 C ： y 2 =2px （ p>0 ） 只有 1 个公 共点， 则抛物线 C 的准线方程为 . 2.8 直线与圆锥曲线的位置关系 59 新课程能力培养 5. 若过 P （ 0 ， 1 ） 的直线与抛物线 y 2 =x 只有一个公共点， 则这 样的直线有 条 . 6. 若直线 y＝kx 与双曲线 4x 2 -y 2 ＝16 相交， 求实数 k 的取值范 围 . 60 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 13. AB 【解析】 抛物线 y=ax 2 的准线方程为 y=- 1 4a ， ∵ 点 M （ 1 ， 1 ） 到抛物线 y=ax 2 的准线的距离为 2 ， ∴ 1+ 1 4a =2 ， 解得 a= 1 4 或 a=- 1 12 ， 故选 AB. 14. BCD 【解析】 焦点 F 到准线的距离为 p=2 ， ∴ 抛 物线 C 的焦点为 （ 1 ， 0 ）， 准线方程为 x=-1 ， 故 A 错 误； 当 PQ 垂直于 x 轴时长度最小， 此时 P （ 1 ， 2 ）， Q （ 1 ， -2 ）， ∴|PQ|=4 ， 故 B 正确； 设 P （ x 1 ， y 1 ）， Q （ x 2 ， y 2 ）， 直 线 PQ 的方程为 x=my+1 ， 联立 x=my+1 ， y 2 ＝2px ， 消去 y 可得 x 2 - （ 4m 2 +2 ） x+1=0 ， 消去 x 可得 y 2 -4my-4=0 ， ∴x 1 + x 2 =4m 2 +2 ， y 1 +y 2 =4m ， 当 m=1 时， 可得 M （ 3 ， 2 ）， 故 C 正确 ； 又 ∵x 1 x 2 =1 ， y 1 y 2 =-4 ， ∴ O !" P·O !" Q ＝x 1 x 2 +y 1 y 2 =-3 ， 故 D 正确 . 故选 BCD. 15. 3 2 【解析】 由抛物线 y 2 =2x ， 其准线方程为 x= - 1 2 ， ∵AB 垂直于 x 轴， |AB|=2 2 姨 ， ∴A 到 x 轴的距离 为 2 姨 . 假设 A 在 y 轴上方， 即 y= 2 姨 ， 代入抛物线 y 2 = 2x ， 求得 x=1 ， ∴ 点 A 到抛物线的准线的距离 d=1+ 1 2 = 3 2 . 16. 解： （ 1 ） 依题意， 抛物线的焦点为 F （ 1 ， 0 ）， 准线方程为 x=-1. 由已知及抛物线的定义， 可知 ｜PF｜=d ， 于是问题转 化为求 ｜PA｜+｜PF｜ 的最小值 . 由平面几何知识知， 当 F ， P ， A 三点共线时 ， ｜PA ｜+｜PF ｜ 取得最小值 ， 最小值为 ｜AF ｜= 5 姨 ， 即 ｜PA｜+d 的最小值为 5 姨 . （ 2 ） 把点 B 的横坐标代入 y 2 = 4x 中 ， 得 y=±2 3 姨 ， ∵2 3 姨 >2 ， ∴ 点 B 在抛物线的内部 . 如图， 过点 B 作 BQ 垂直准线于点 Q ， 交抛物 线于点 P 1 . 由抛物线的定义 ， 可知 ｜P 1 Q｜=｜P 1 F｜ ， 则 ｜PB｜+｜PF｜≥｜P 1 B｜+｜P 1 Q｜= ｜BQ｜=3+1=4 ， ∴｜PB｜+｜PF｜ 的最小值为 4. 2.8 直线与圆锥曲线的位置关系 学习手册 变式训练 1 C 【解析】 由 x+y-3=0 ， x 2 4 +y 2 =1 1 ' ' ' & ' ' ' ( ， 得 x 2 4 + （ 3-x ） 2 =1 ， 化简得 5x 2 -24x+32=0 ， ∵Δ=24 2 -4×5×32=-64<0 ， ∴ 方程 无解， ∴ 直线与椭圆的位置关系是相离， 故选 C. 变式训练 2 C 【解析】 由双曲线的几何性质可知， 当 直线与渐近线平行时， 直线 l 与 C 有唯一公共点， 由于 双曲线的渐近线为 y=± 1 2 x ， 故直线 l 的方程为 y= 1 2 （ x- 2 ）或 y=- 1 2 （ x-2 ）， 即 y= 1 2 x-1 或 y=- 1