2.7 抛物线及其方程-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册随堂练习（人教B版）

随堂练习 1. 抛物线 y 2 ＝4x 上的点 M （ 4 ， y 0 ） 到其焦点 F 的距离为 （ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 抛物线的准线方程为 x＝-4 ， 则抛物线方程为 （ ） A. x 2 ＝16y B. x 2 ＝8y C. y 2 ＝16x D. y 2 ＝8x 3. 抛物线 y=ax 2 的准线方程是 y=2 ， 则 a 的值为 （ ） A. 1 8 B. - 1 8 C. 8 D. -8 4. y=ax 2 （ a≠0 ） 的焦点坐标是 （ ） A. 0 ， 1 4a a # B. 0 ， - 1 4a a a C. 0 ， 1 4a a a 或 0 ， - 1 4a a a 2.7 抛物线及其方程 2.7.1 抛物线的标准方程 55 新课程能力培养 D. 1 4a ， ! " 0 或 - 1 4a ， ! " 0 5. 若抛物线 y 2 ＝2px （ p≠0 ） 的焦点与椭圆 x 2 6 + y 2 2 ＝1 的右焦点 重合， 则实数 p＝ . 6. 抛物线 y 2 ＝-2px （ p＞0 ） 上有一点 M 的横坐标为 -9 ， 它到焦 点的距离为 10 ， 则抛物线方程为 ， M 点的坐 标为 . 56 随堂练习 1. 已知抛物线 x 2 =2py （ p>0 ） 的准线经过点 （ -1 ， -1 ）， 则抛 物线的焦点坐标为 （ ） A. （ -1 ， 0 ） B. （ 0 ， -1 ） C. （ 1 ， 0 ） D. （ 0 ， 1 ） 2. 已知点 P （ 6 ， y ） 在抛物线 y 2 =2px （ p>0 ） 上， 若点 P 到抛物 线焦点 F 的距离等于 8 ， 则焦点 F 到抛物线准线的距离等 于 （ ） A. 2 B. 1 C. 4 D. 8 3. A 是抛物线 y 2 =2px （ p>0 ） 上的一点， F 为抛物线的焦点， O 为坐标原点， 当 ｜AF｜=4 时， ∠OFA=120° ， 则抛物线的准 线方程是 （ ） A. x=-1 B. y=-1 C. x=-2 D. y=-2 4. 抛物线 y 2 =4x 的焦点为 F ， 点 P 为抛物线上的动点， 点 M 为其准线上的动点， 当 △FPM 为等边三角形时， 其面积为 （ ） 2.7.2 抛物线的几何性质 57 新课程能力培养 A. 2 3 姨 B. 4 C. 6 D. 4 3 姨 5. 已知抛物线 y 2 ＝mx 的焦点坐标 F 为 （ 2 ， 0 ）， 则 m 的值为 ， 若点 P 在抛物线上， 点 A （ 5 ， 3 ）， 则 |PA|+|PF| 的 最小值为 . 6. AB 是过抛物线 C ： y 2 ＝4x 焦点的弦， 且 |AB|＝10 ， 则 AB 中 点的横坐标是 . 58 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 14. 解 ： （ 1 ） ∵ 椭圆 x 2 4 +y 2 =1 的焦点为 （ ± 3 姨 ， 0 ）， 又 ∵ 双曲线 C ： x 2 a 2 - y 2 b 2 =1 与椭圆 x 2 4 +y 2 =1 有相同的 焦点， ∴a 2 +b 2 = （ 3 姨 ） 2 =3. ∵ 双曲线 C ： x 2 a 2 - y 2 b 2 =1 过点 （ 2 姨 ， 2 姨 ）， ∴ 2 a 2 - 2 b 2 =1 ， 即 2 a 2 - 2 3-a 2 =1 ， 化简得 a 4 -7a 2 +6=0 ， 解得 a 2 =1 或 a 2 =6 （舍去）， ∴b 2 = 3-a 2 =2 ， ∴ 双曲线 C 的方程为 x 2 - y 2 2 =1. （ 2 ） ∠AOB 是直角 . 理由如下： 当直线 l 的斜率不存在时， 设直线 l 的方程为 x=t ， ∵ 原点 O 到直线 l 的距离为 2 姨 ， ∴ 直线 l 的方程 为 ± 2 姨 ， 此时设 A ， B 两点的坐标为 A （ 2 姨 ， 2 姨 ）， B （ 2 姨 ， - 2 姨 ）， ∴ O O$ A·O O$ B = （ 2 姨 ， 2 姨 ）·（ 2 姨 ， - 2 姨 ） = 2 姨 × 2 姨 + 2 姨 × （ - 2 姨 ）， ∴OA⊥OB. 当直线 l 的斜率存在时， 设直线 l 的方程为 y=kx+m ， ∵ 原点 O 到直线 l 的距离为 2 姨 ， ∴ ｜m｜ k 2 +1 2 姨 = 2 姨 ， 整理得 m 2 =2 （ k 2 +1 ） . 直线 l 的方程 y=kx+m 与双曲线的方程联立 x 2 - y 2 2 =1 ， y=kx+m m ( ( ( ' ( ( ( ) ， 整理得（ 2-k 2 ） x 2 -2mkx-m 2 -2=0. 设 A （ x 1 ， y 1 ）