2.8 直线与圆锥曲线的位置关系-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

第二章 平面解析几何 学 学 习 目 标 1. 通过类比直线与圆的位置关系， 会判 断直线与圆锥曲线的位置关系， 培养数学抽 象、 直观想象核心素养 . 2. 会求直线与圆锥曲线相交时弦长、 弦 的中点及相关综合问题， 提升数学运算、 逻 辑推理核心素养 . 要 点 精 析 要点 1 直线与圆锥曲线的位置关系 1. 直线与圆锥曲线相切 一般地， 给定直线 l 与圆锥曲线 C （圆、 椭圆、 双曲线、 抛物线）， 如果联立它们的 方程并消去一个未知数后， 得到的是一个一 元二次方程且该方程只有一个实数解 （即有 两个相等的实数解）， 则称直线与圆锥曲线 相切 . 2. 直线与圆锥曲线的位置关系判断 设直线 l ： Ax+By+C＝0 （ A 2 +B 2 ≠0 ）， 圆锥曲 线 C ： f （ x ， y ） ＝0 ， 由 Ax+By+C=0 （ A 2 +B 2 ≠0 ） f （ x ， y ） =0 0 ， 即将直线 l 的方程与圆锥曲线 C 的方程联 立， 消去 y 便得到关于 x 的方程 ax 2 +bx+c＝0 （当然， 也可以消去 x 得到关于 y 的方程）， 通过方程解的情况判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系， 见下表： 例 1 直线 y＝x+1 与椭圆 x 2 + y 2 2 ＝1 的位 置关系是 （ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定 解析： 联立 y=x+1 ， x 2 + y 2 2 =1 1 % % % % $ % % % % & ， 消去 y ， 得 3x 2 + 2x-1＝0 ， ∵Δ＝2 2 +12＝16＞0 ， ∴ 直线与椭圆相 交 . 故选 C. 变式训练 1 已知直线 l ： x+y-3=0 ， 椭圆 x 2 4 +y 2 =1 ， 则直线与椭圆的位置关系是 （ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相切或相交 例 2 过点 P （ 2 ， 2 ） 作抛物线 y 2 =2x 的 切线 l ， 求切线 l 的方程 . 解： 设切线斜率为 k ， 则切线方程 y-2= k （ x-2 ）， 联立方程 y-2=k （ x-2 ）， y 2 =2x 0 ， 可得 ky 2 - 2.8 直线与圆锥曲线的位置关系 方程 ax 2 ＋bx＋c＝0 的解 l 与 C 的交点 a＝0 b＝0 无解 （含 l 是双曲线的渐近线） 无 b≠0 有一个解 （含 l 与抛物线的 对称轴平行或与双曲线的渐 近线平行） 一个 a≠0 Δ>0 两个不相等的解 两个 Δ＝0 两个相等的解 一个 Δ<0 无实数解 无 111 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 2y-4k+4=0 ， 则 Δ=4-4k （ -4k+4 ） =0 ， 解得 k= 1 2 ， 即切线方程为 y-2= 1 2 （ x-2 ）， 故切线 l 的方程为 x-2y+2=0. 变式训练 2 已知双曲线 C ： x 2 -4y 2 =1 ， 经点 P （ 2 ， 0 ） 的直线 l 与 C 有唯一公共点， 则直线 l 的方 程为 （ ） A. y=2x-1 B. y=- 1 2 x+1 C. y= 1 2 x-1 或 y=- 1 2 x+1 D. y=2x-1 或 y=- 1 2 x+1 要点 2 弦长公式 1. 一般地， 直线与圆锥曲线有两个公共 点时， 则以这两个公共点为端点的线段称为 圆锥曲线的一条弦， 线段的长就是弦长 . 简 单地说， 圆锥曲线的弦就是连接圆锥曲线上 任意两点所得的线段 . 2. 若直线 l 与圆锥曲线相交于 A ， B 两 点， 求弦 AB 长的方法： （ 1 ） 把直线的方程与圆锥曲线的方程联 立， 得到点 A ， B 的坐标， 然后用两点间的 距离公式， 便得到弦 AB 的长 . 一般来说， 这种方法较为麻烦 . （ 2 ） 不求交点坐标， 可用一元二次方程 根与系数的关系求解 . 设直线方程为 y＝kx+m ， 与 圆锥曲线交于两点 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， 则 ｜AB｜= （ x 1 -x 2 ） 2 + （ y 1 -y 2 ） 2 姨 = （ x 1 -x 2 ） 2 + （ kx 1 +m-kx 2 -m ） 2 姨 = 1+k 2 姨 · （ x 1 +x 2 ） 2 -4x 1 x 2 姨 或当 k≠0 时， |AB|＝ 1+ 1 k 2 姨 · （ y 1 +y 2 ） 2 -4y 1 y 2 姨 . 当 k＝0 时， 直线平行于 x 轴， |AB|＝|x 1 -x 2 |. 例 3 已知点 F 1 （ -1 ， 0 ）， F 2 （ 1 ， 0 ）， 动 点 P 到点 F 1 ， F 2 的距离和等于 4. （ 1