2.4 曲线与方程-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

第二章 平面解析几何 学 学 习 目 标 1. 理解曲线的方程与方程的曲线的意义 . 2. 了解曲线与方程的对应关系 . 3. 了解用曲线方程研究曲线性质的方法 . 4. 会求两曲线的交点 . 要 点 精 析 要点 1 曲线的方程与方程的曲线 一般地， 在平面直角坐标系中， 如果曲 线 C 与方程 F （ x ， y ） ＝0 之间具有如下关系： （ 1 ） 曲线 C 上的点的坐标都是方程 F （ x ， y ） ＝0 的解 . （ 2 ） 以方程 F （ x ， y ） ＝0 的解为坐标的点 都在曲线 C 上 . 则称曲线 C 为方程 F （ x ， y ） ＝0 的曲线， 方程 F （ x ， y ） ＝0 为曲线 C 的方程 . 思考 如果曲线 C 的方程是 F （ x ， y ） ＝ 0 ， 且 P （ x ， y ）是平面直角坐标系中的任意一 点， 用集合的特征性质描述法如何表示曲 线 C ？ 例 1 分析下列曲线上的点与相应方程 的关系： （ 1 ） 过点 A （ 2 ， 0 ） 平行于 y 轴的直线 与方程 |x|＝2 之间的关系； （ 2 ） 第二、 四象限两轴夹角平分线上 的点与方程 x+y＝0 之间的关系 . 分析 只有点和方程的解一一对应 ， 才能说曲线是方程的曲线， 方程是曲线的 方程 . 解： （ 1 ） 过点 A （ 2 ， 0 ） 平行于 y 轴的 直线上的点的坐标都是方程 |x|＝2 的解； 但以 方程 |x|＝2 的解为坐标的点不一定都在过点 A （ 2 ， 0 ） 且平行于 y 轴的直线上 . 因此， |x|＝ 2 不是过点 A （ 2 ， 0 ） 平行于 y 轴的直线的 方程 . （ 2 ） 第二、 四象限两轴夹角平分线上的 点的坐标都满足 x+y＝0 ； 反之， 以方程 x+y＝ 0 的解为坐标的点都在第二、 四象限两轴夹 角的平分线上 . 因此， 第二、 四象限两轴夹 角平分线上的点的轨迹方程是 x+y＝0. 反思感悟 （ 1 ） 曲线上的点的坐标都是这个方程 的解， 即直观地说 “点不比解多”， 称为 纯粹性 . （ 2 ） 以这个方程的解为坐标的点都在 曲线上， 即直观地说 “解不比点多”， 称为 完备性 . 变式训练 1 设曲线 F 1 （ x ， y ） =0 和 F 2 （ x ， y ） =0 的交 点为 P ， 那么曲线 F 1 （ x ， y ） -F 2 （ x ， y ） =0 必定 （ ） A. 经过 P 点 B. 经过原点 2.4 曲线与方程 第 1课时 曲线与方程的概念 81 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 C. 不一定经过 P 点 D. 经过 P 点和原点 要点 2 用曲线方程研究曲线性质 讨论曲线的几何性质一般包括以下几个 方面： （ 1 ） 研究曲线的组成和范围， 即看一下 所求的曲线是由哪一些基本的曲线组成的， 在某些情况下可以根据方程求得方程所表示 曲线的大致范围 . （ 2 ） 研究曲线与坐标轴是否相交， 如果 相交， 求出交点的坐标， 曲线与坐标轴的交 点是确定曲线位置的关键点 . （ 3 ） 研究曲线的对称性 （关于 x 轴、 y 轴、 原点） . （ 4 ） 研究曲线的变化趋势， 即 y 随 x 的 增大或减小的变化情况 . （ 5 ） 根据方程画出曲线的大致形状， 在 画曲线时， 可充分利用曲线的对称性， 通过 列表、 描点的方法先画出曲线在一个象限的 图象， 然后根据对称性画出整条曲线 . 例 2 已知曲线 C 的方程是 x 4 +y 2 ＝1. 关 于曲线 C 的几何性质， 给出下列三个结论： ① 曲线 C 关于原点对称； ② 曲线 C 关于直线 y＝x 对称； ③ 曲线 C 所围成的区域的面积大于 π. 其中， 所有正确结论的序号是 . 解析： 将方程中的 x 换成 -x ， y 换成 -y ， 方程不变， ∴ 曲线 C 关于原点对称， 故 ① 正确； 将方程中的 x 换成 y ， y 换成 x ， 方程 变为 y 4 +x 2 ＝1 与原方程不同， 故 ② 错误； 在 曲线 C 上任取一点 M （ x 0 ， y 0 ）， x 4 0 +y 2 0 ＝1 ， ∵|x 0 |≤ 1 ， ∴x 4 0 ≤x 2 0 ， ∴x 2 0 +y 2 0 ≥x 4 0 +y 2 0 ＝1 ， 即点 M 在圆 x 2 +y 2 ＝1 外， 故 ③ 正确 . 故正确的结论的序号 是 ①③. 反思感悟 研究曲线的对称性： 将 x 换为 -x ， y 不 变， 原方程不变， 则曲线 C 关于 y 轴对称； 将 y 换为 -y ， x 不变， 原方程不变， 则曲线 C 关于 x 轴对称； 将 x 换为 -x ， y 换为 -y