2.2 直线及其方程-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念， 明 确直线的倾斜角和斜率的关系 . 2. 掌握过两点的直线斜率的计算公式并 能解决相关问题 . 3. 会利用斜率概念判断给定的三点是否 共线 . 要 点 精 析 要点 1 倾斜角的概念 1. 倾斜角的概念： 一般地， 给定平面直 角坐标系中的一条直线， 如果这条直线与 x 轴相交， 将 x 轴绕着它们的交点按逆时针方 向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为 兹 ， 则称 兹 为这条直线的倾斜角； 如果这条 直线与 x 轴平行或重合， 则规定这条直线的 倾斜角为 0°. 思考 你能说出直线的倾斜角的范围 吗？ 两向量的夹角的范围呢？ 2. 直线的倾斜角公式： 一般地， 如果 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ） 是直线 l 上两个不同的 点， 直线 l 的倾斜角为 兹 ， 则： （ 1 ） 当 y 1 =y 2 时 （此时必有 x 1 ≠x 2 ）， 兹=0°. （ 2 ） 当 x 1 =x 2 时 （此时必有 y 1 ≠y 2 ）， 兹= 90°. （ 3 ） 当 x 1 ≠x 2 且 y 1 ≠y 2 时， 可以构造以 AB 为斜边且两直角边分别平行于坐标轴或 在坐标轴上的直角三角形 ， 此时 ， tan兹= y 2 -y 1 x 2 -x 1 ， 而且， 这个式子在 x 1 ≠x 2 且 y 1 =y 2 时 也成立 . 思考 直线的倾斜角可以用三角函数 中的正弦来表示吗？ 为什么？ 例 1 已知 y=x 的图象绕原点逆时针旋 转 30° 得直线 l ， 求直线 l 的倾斜角 . 解： 由 y=x 的图象是一条倾斜角为 45° 的直线， 由图 2-2-1 可知， 直线 l 的倾斜角 兹=30°+45°=75°. 变式训练 1 过 A （ 1 ， 1 ） 的直线 l 不经过第二象限， 求直线 l 的倾斜角的取值范围 . 2.2 直线及其方程 2.2.1 直线的倾斜角与斜率 第 1课时 倾斜角与斜率 x y y=x 30° l 图 2-2-1 40 第二章 平面解析几何 学 要点 2 直线的斜率及斜率公式 1. 直线的斜率的概念 一般地， 如果直线 l 的倾斜角为 兹 ， 则 当 兹≠90° 时， 称 k=tan兹 为直线 l 的斜率； 当 兹=90° 时， 称直线的斜率不存在 . 思考 已知一条直线的倾斜角或斜率， 能确定这条直线吗？ 如不能， 还需要知道 什么条件呢？ 2. 倾斜角与斜率的关系 思考 直线的斜率会随着倾斜角的增 大而增大吗？ 3. 两点的斜率公式 如果 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ） 是直线 l 上 两个不同的点， 那么当 x 1 ≠x 2 时， 斜率 k= y 1 -y 2 x 1 -x 2 . 思考 斜率公式与两点的顺序有关吗？ 在以前学过的知识中你遇到过直线的斜 率吗？ 例 2 已知坐标平面内 △ABC 的三个顶 点坐标分别为 A （ 2 ， 1 ）， B （ -1 ， 1 ）， C （ -1 ， -2 ）， 求直线 AB ， BC ， CA 的斜率 . 分析 利用两点的斜率公式即可求解， 但要注意判断使用公式时两点的横坐标是 否相同 . 解 ： 由 题 意 得 k AB = 1-1 2- （ -1 ） =0 ， k CA = 1- （ -2 ） 2- （ -1 ） =1 ， 由 B ， C 两点的横坐标相等， 故直线 BC 的斜率不存在 . 变式训练 2 将本例中 C （ -1 ， -2 ） 改为 C （ -2 ， 2 ）， 求直线 AB ， BC 的斜率以及倾斜角 . 反思感悟 根据直线斜率和倾斜角的关系， 解题 时求倾斜角的值或范围， 可以通过求直线 的斜率的值或范围来解决， 反之也一样 . 例 3 已知经过 A （ 2a ， 3 ）， B （ 2 ， a-1 ） 的直线的斜率为 - 1 3 ， 求实数 a 的值 . 分析 利用两点的斜率公式列出关于 实数 a 的方程， 即可求解 . 解： 由已知条件得 a-1-3 2-2a =- 1 3 ， ∴3a- 12=2a-2 ， 解得 a=10. 变式训练 3 若直线经过两点 A （ 2 ， -m ）， B （ m ， m- 1 ）， 且倾斜角为 135° ， 则 m 的值为 （ ） A. 2 B. 3 2 C. 1 D. - 3 2 倾斜角 兹 斜率 k=tan兹 倾斜角 兹 斜率 k=tan兹 0° 0 90° 不存在 ３0° 3 姨 3 １２0° - 3 姨 ４５° 1 １３５° -1 ６0° 3 姨 １５0° - 3 姨 3 41 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B