2.1 坐标法-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

第二章 平面解析几何 学 学 习 目 标 1. 掌握数轴上以及平面直角坐标系中 的基本公式——两点的距离公式、 中点坐 标公式 . 2. 会使用两点的距离公式、 中点坐标 公式 . 3. 明白点关于点对称的实质是中点坐标 公式的应用 . 4. 知道解决几何问题的重要方法——坐 标法， 明确利用坐标法解决问题的一般步 骤， 并会用坐标法解决与两点的距离以及中 点有关的问题 . 要 点 精 析 要点 1 平面直角坐标系中的基本公式 1. 数轴上的基本公式及推导 如果数轴上点 A （ x 1 ）， B （ x 2 ）， 则 （ 1 ） A ， B 两点间的距离公式 ｜AB｜=｜x 2 -x 1 ｜. （ 2 ） 线段 AB 的中点坐标公式 x= x 1 +x 2 2 . 推导： 由 A A" B = （ x 2 -x 1 ）， 故 ｜AB｜=｜x 2 -x 1 ｜. 又设线段 AB 的中点为 M （ x ）， 则 A A" M = M A" B ， ∴x-x 1 =x 2 -x ， ∴x= x 1 +x 2 2 . 反思感悟 M 是线段 AB 的中点， 也可以理解为 点 A 和点 B 关于点 M 对称 . 2. 平面直角坐标系中的基本公式 在平面直角坐标系中 ， 点 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， 则 （ 1 ） A ， B 两点间的距离公式 ｜AB｜= （ x 2 -x 1 ） 2 + （ y 2 -y 1 ） 2 姨 . （ 2 ） 线段 AB 的中点坐标公式 x 1 +x 2 2 ， y 1 +y 2 2 2 % . 思考 （ 1 ） 你能试着用数轴上基本公 式的推导方法——向量法， 推导上面两个 平面直角坐标系中的基本公式吗？ （ 2 ） 你知道平面上两点的距离公式和 勾股定理的关系吗？ （ 3 ） 平面直角坐标系中的中点问题可 以理解为对称问题吗？ 例 1 已知 △ABC 的三个顶点 A （ 1 ， 2 ）， B （ 3 ， 4 ）， C （ 5 ， 0 ）， 求 △ABC 的三边长并判 断其形状 . 解： ｜AB｜= （ 1-3 ） 2 + （ 2-4 ） 2 姨 =2 2 姨 ， ｜BC｜= （ 3-5 ） 2 + （ 4-0 ） 2 姨 =2 5 姨 ， ｜AC｜= （ 1-5 ） 2 + （ 2-0 ） 2 姨 =2 5 姨 ， ∴｜AC｜=｜BC｜ ， ∴△ABC 是等腰三角形 . 第二章 平面解析几何 2.1 坐标法 35 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 反思感悟 已知两点 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， 则这 两点之间的距离的特殊情况的求法： （ 1 ） 点 A ， B 所在直线垂直于 x 轴， 即 x 1 =x 2 ， 则 ｜AB｜=｜y 2 -y 1 ｜. （ 2 ） 点 A ， B 所在直线垂直于 y 轴， 即 y 1 =y 2 ， 则 ｜AB｜=｜x 2 -x 1 ｜. （ 3 ） 点 A 与坐标原点 O （ 0 ， 0 ） 的距离 ｜AO｜= x 2 1 +y 2 1 姨 . （ 4 ） 点 A ， B 都在直线 y=kx+b 上时， ｜AB｜= 1+k 2 姨 ｜x 1 -x 2 ｜. 例 2 求下列点 A 关于点 M 的对称点 B 的坐标： （ 1 ） 点 A （ 2 ）， M （ -1 ）； （ 2 ） 点 A （ 1 ， -1 ）， M （ 2 ， 3 ） . 分析 因为点关于点对称的本质就是 中点问题 ， 所以本题使用中点坐标公式 解决 . 解 ： （ 1 ） 设点 B （ x ） ， 由题知 M 是 AB 的中点， ∴x M = x A +x B 2 ， ∴x B =2x M -x A =2× （ -1 ） -2=-4 ， ∴B （ -4 ） . （ 2 ） 设点 B （ x ， y ）， 由题知 M 是 AB 的 中点， 则 x M = x A +x B 2 ， y M = y A +y B 2 2 $ $ $ $ $ $ # $ $ $ $ $ $ % ， ∴ x B =2x M -x A =2×2-1=3 ， y B =2y M -y A =2×3- （ -1 ） =7 & ， ∴ 点 B （ 3 ， 7 ） . 反思感悟 如果线段 AB 的中点为 M ， 且 A （ x 1 ， y 1 ）， M （ x ， y ）， 则点 B 的坐标可设为 （ 2x- x 1 ， 2y-y 1 ） . 变式训练 1 已知 △ABC 的顶点 A ， B ， C 的坐标分 别为 （ -3 ， 1 ）， （ 3 ， -3 ）， （ 1 ， 7 ）， 求三 角形三条边上的中线的长 . 要点 2 坐标法 坐