第四章 概率与统计 章末复习课-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册学习手册（人教B版）

高中数学选择性必修 第二册 （人教 B 版） 精编版 学 要 点 精 析 要点 1 条件概率与全概率公式 1. 求条件概率有两种方法： 一种是基于 样本空间 Ω ， 先计算 P （ A ）和 P （ AB ）， 再利用 P （ B|A ） ＝ P （ AB ） P （ A ） 求解； 另一种是缩小样本空 间， 即以 A 为样本空间计算 AB 的概率 . 2. 掌握条件概率与全概率运算， 重点提 升逻辑推理和数学运算的核心素养 . 例 1 甲、 乙、 丙三人同时对飞机进行 射击， 三人击中的概率分别为 0.4 ， 0.5 ， 0.7. 飞机被一人击中而击落的概率为 0.2 ， 被两 人击中而击落的概率为 0.6 ， 若三人都击中， 飞机必定被击落， 求飞机被击落的概率 . 解： 设 B＝ “飞机被击落”， A i ＝ “飞机被 i 人击中”， i＝1 ， 2 ， 3 ， 则 B＝A 1 B＋A 2 B＋A 3 B. 依题意 ， P （ B |A 1 ） ＝0.2 ， P （ B |A 2 ） ＝0.6 ， P （ B|A 3 ） ＝1. 由全概率公式 P （ B ） ＝P （ A 1 ） P （ B|A 1 ） ＋P （ A 2 ） P （ B|A 2 ） ＋P （ A 3 ） P （ B|A 3 ）， 为求 P （ A i ）， 设 H i ＝ “飞机被第 i 人击中”， i＝1 ， 2 ， 3 ， 可 求得： P （ A 1 ） ＝P （ H 1 H 2 H 3 ＋H 1 H 2 H 3 ＋H 1 H 2 H 3 ）， P （ A 2 ） ＝P （ H 1 H 2 H 3 ＋H 1 H 2 H 3 ＋H 1 H 2 H 3 ）， P （ A 3 ） ＝P （ H 1 H 2 H 3 ）， 将数据代入计算得 P （ A 1 ） ＝0.36 ， P （ A 2 ） ＝0.41 ， P （ A 3 ） ＝0.14 ， 于是 P （ B ） ＝P （ A 1 ） P （ B|A 1 ） ＋P （ A 2 ） P （ B|A 2 ） ＋P （ A 3 ） P （ B|A 3 ） ＝ 0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458 ， 即飞机被 击落的概率为 0.458. 反思感悟 条件概率的计算要注意以下几点： （ 1 ） 明白是在谁的条件下， 计算谁的 概率 . （ 2 ） 明确 P （ A ）， P （ B|A ）以及 P （ AB ）三 者间的关系， 实现三者间的互化 . （ 3 ） 理解全概率公式 P （ A ） ＝ n i=1 移 P （ B i ） P （ A|B i ） 中化整为零的计算思想 . 变式训练 1 抛掷红、 黄两颗骰子， 当红色骰子的点 数为 4 或 6 时， 两颗骰子的点数之积大于 20 的概率是 （ ） A. 1 4 B. 1 3 C. 1 2 D. 3 5 要点 2 n 次独立重复试验及二项分布 1. 独立重复试验是相互独立事件概率的 延伸， 其试验结果出现的次数 X～B （ n ， p ）， 即 P （ X＝k ） ＝C k n p k （ 1－p ） n－k . 2. 学习该部分知识重点提升数学建模及 数学运算的核心素养 . 例 2 在一次抗洪抢险中， 准备用射击 的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油 罐， 已知只有 5 发子弹， 第一次命中只能使 汽油流出， 第二次命中才能引爆， 每次射击 第四章 章末复习课 78 第四章 概率与统计 学 是相互独立的， 且命中的概率都是 2 3 . （ 1 ） 求油罐被引爆的概率； （ 2 ） 如果引爆或子弹打光则停止射击， 设射击次数为 ξ ， 求 ξ 不小于 4 的概率 . 解： （ 1 ） 油罐引爆的对立事件为油罐 没有引爆， 没有引爆的可能情况是射击 5 次 只击中一次或一次也没有击中， 故该事件的 概率为 P＝C 1 5 × 2 3 × 1 3 3 " 4 ＋ 1 3 3 " 5 ， 所以所求的 概率为 1－P＝1－ C 1 5 × 2 3 × 1 3 3 " 4 ＋ 1 3 3 " 5 5 $ ＝ 232 243 . （ 2 ） 当 ξ＝4 时， 记事件为 A ， 则 P （ A ） ＝ P （ ξ＝4 ） ＝C 1 ３ × 2 3 × 1 3 3 " 2 × 2 3 ＝ 4 27 ， 当 ξ＝5 时， 意味着前 4 次射击只击中一次或一次也未击 中， 记为事件 B ， 则 P （ B ） ＝P （ ξ＝5 ） ＝C 1 ４ × 2 3 × 1 3 3 " 3 ＋ 1 3 3 " 4 ＝ 1 9 ， ∴ 所求概率为 P （ A∪B ） ＝ P （ A ） ＋P （ B ） ＝ ４ ２7 ＋ 1 9 ＝ 7 ２7 . 反思感悟 与二项