4.1 条件概率与事件的独立性-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册学习手册（人教B版）

第四章 概率与统计 学 学 习 目 标 1. 通过对具体情景的分析， 了解条件概 率的定义 . 2. 掌握简单的条件概率的计算问题 . 3. 能利用条件概率公式解决简单的实际 问题 . 要 点 精 析 要点 1 条件概率 思考 P （ B｜A ）和 P （ A｜B ）的意义相同吗？ 例 1 （ 1 ） 把一枚质地均匀的硬币投掷 两次， 事件 A＝ “第一次出现正面”， B＝ “第二 次出现正面”， 则 P （ B|A ） ＝ . （ 2 ） 集合 A＝{1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6} ， 甲、 乙两人各从 A 中任取一个数， 若甲先取 （不 放回）， 乙后取， 在甲抽到奇数的条件下， 求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率 . 解析： （ 1 ） ∵ 事件 A 所包含的基本事件 有（正， 正）， （正， 反）， 事件 A∩B 所包含 的基本事件有 （正 ， 正 ） ， ∴P （ A ） ＝ 2 4 ， P （ A∩B ） ＝ 1 4 . ∴P （ B|A ） ＝ P （ A∩B ） P （ A ） ＝ 1 4 2 4 ＝ 1 2 . （ 2 ） 将甲抽到数字 a ， 乙抽到数字 b ， 记作 （ a ， b ）， 甲抽到奇数的情形有 （ 1 ， 2 ）， （ 1 ， 3 ） ， （ 1 ， 4 ） ， （ 1 ， 5 ） ， （ 1 ， 6 ） ， （ 3 ， 1 ） ， （ 3 ， 2 ） ， （ 3 ， 4 ） ， （ 3 ， 5 ） ， （ 3 ， 6 ） ， （ 5 ， 1 ） ， （ 5 ， 2 ） ， （ 5 ， 3 ） ， （ 5 ， 4 ）， （ 5 ， 6 ）， 共 15 个样本点 . 在这 15 个样本点中， 乙抽到的数比甲抽到的数大的 有 （ 1 ， 2 ）， （ 1 ， 3 ）， （ 1 ， 4 ）， （ 1 ， 5 ）， （ 1 ， 6 ） ， （ 3 ， 4 ） ， （ 3 ， 5 ） ， （ 3 ， 6 ） ， （ 5 ， 6 ）， 共 9 个样本点 ， ∴ 所求概率 P＝ 9 15 ＝ 3 5 . 变式训练 1 若本例 （ 2 ） 改为： 甲先取 （放回）， 乙 后取， 若事件 A ： “甲抽到的数大于 4 ”； 事 第四章 概率与统计 4.1 条件概率与事件的独立性 4.1.1 条件概率 名称 定义 符号表示 计算公式 条件 概率 一般地 ， 当事件 B 发生的概率大于 0 （即 P （ B ） >0 ） 时， 已 知事件 B 发生的条 件下事件 A 发生的 概率， 称为条件概率 P （ A|B ） P （ A|B ） ＝ P （ A∩B ） P （ B ） ， P （ B ） >0 31 高中数学选择性必修 第二册 （人教 B 版） 精编版 学 件 B ： “甲、 乙抽到的两数之和等于 7 ”， 求 P （ B|A ） . 反思感悟 条件概率的题目原型与求解方法： （ 1 ） 题目原型： 在题目条件中， 若出 现 “在……发生的条件下……发生的概率” 时， 一般可认为是条件概率 . （ 2 ） 求解方法： ① 在原样本空间中， 先计算 P （ A∩B ）， P （ A ）， 再利用公式 P （ B|A ） ＝ P （ A∩B ） P （ A ） 计算 求得 P （ B|A ）； ② 若事件为古典概型 ， 可利用公式 P （ B|A ） ＝ n （ A∩B ） n （ A ） ， 即在缩小后的样本空间 中计算事件 B 发生的概率 . 变式训练 2 某个班级共有学生 40 人， 其中团员有 15 人 . 全班分成四个小组， 第一小组有学生 10 人， 其中团员有 4 人 . 如果要在班内任选 1 人当学生代表 . （ 1 ） 求这个代表恰好在第一小组的概率； （ 2 ） 求这个代表恰好是团员代表的概率； （ 3 ） 求这个代表恰好是第一小组团员的 概率； （ 4 ） 现在要在班内任选 1 个团员代表， 问这个代表恰好在第一小组的概率 . 要点 2 条件概率的实际应用 例 2 一批同型号产品由甲、 乙两厂生 产， 产品结构如下表： 从这批产品中随意地取一件， 则这件产 品恰好是次品的概率是 ； 已知取出 的产品是甲厂生产的， 则这件产品恰好是次 品的概率是 . 解析： 从这批产品中随意地取一件， 则 这件产品恰好是次品的概率是 81 1 200 ＝ 27 400 . 方法一： 已知取出的产品是甲厂生产的， 则这件产品恰好是次品的概率是 25 500 ＝ 1 20 . 方法二： 设事件 A＝ “取出的产品是甲 厂生产的”， 事件 B＝ “取出的产品为甲厂的 次品”， 则 P （ A ） ＝ 500 1 200 ， P （ A∩B ） ＝ 25 1 200 ， 等级 生产数量 甲厂 乙厂 合