4.1.2 乘法公式与全概率公式-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册学习手册（人教B版）

4.1.2乘法公 学习目标 1.会应用乘法公式计算概率 2.理解全概率公式，学会利用全概率公 式与贝叶斯公式计算概率. 要点精析 川要点1乘法公式 1.乘法公式：P(BA)=P(A)P(BA). 2.意义：根据事件A发生的概率，以及 已知事件A发生的条件下事件B发生的概 率，可以求出事件A与B同时发生的概率. 例1某项射击游戏规定：选手先后对 两个目标进行射击，只有两个目标都射中才 能过关.某选手射中第一个目标的概率为 0.8,继续射击，射中第二个日标的概率为 0.5,则这个选手过关的概率为 反思感悟 应用乘法公式的关注点： (1)来源：乘法公式是条件概率公式 的变形式： (2)用途：已知事件A发生的概率和 事件A发生的条件下事件B发生的概率， 求事件A与B同时发生的概率. (3)推广：设A,B,C为三个事件， 且P(AB)>0,则有P(ABC)=P(CAB)P(AB) =P(CIAB)P(BIA)P(A). 第四章概率与统计。 式与全概率公式 B变式训练① 批彩电共100台，其中有10台次品， 采用不放回抽样依次抽取2次，每次抽一台， 则第2次才抽到合格品的概率为 川要点2全概率公式 1.全概率公式：一般地，如果样本空间 为2，A,B为事件，则BA与BA是互斥 的，且 B=B2=B(A+A)=BA+BA,从而 P(B)=P(BA+BA)=P(BA)+P(BA), 当P(A)>0且P(A)>0时，因为由乘法 公式有 P(BA)=P(A)P(BIA),P(BA)=P(A)P(BIA), 所以 P(B)=P(A)P(BIA)+P(A)P(BIA). 2.定理：若样本空间2中的事件A1, A2,…,An满足： (1)任意两个事件互斥，即AA=☑，i, j=1,2,…,n,i≠j (2)A1+A2+…+Am=2; (3)P(A)>0,i=1,2,…,n 则对2中的任意事件B,都有B=BA1+ BA2+…+BAn,且 P(B)=∑P(BA,)=∑P(A,)P(BA,). -1 i=l 思考在全概率公式的推导过程中， 用到了哪些概率公式？ 学(33 高中数学选择性必修第二册人教B版 例2某次社会实践活动中，甲、乙两 个班的同学共同在一个社区进行民意调查 参加活动的甲、乙两班的人数之比为5：3， 其中甲班中女生占子，乙班中女生占}求 该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰 好是女生的概率， 反思感悟 两个事件的全概率问题求解策略： (1)拆分：将样本空间拆分成互斥的 两部分如A1,A2(或A与A) (2)计算：利用乘法公式计算每一部 分的概率 (3)求和：所求事件的概率P(B)= P(A)P(BIA)+P(A2)P(BIA2). (34学 B变式训练2 某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙 厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100 个，废品率为品，乙厂每箱装120个，废品 率为1 01 (1)求任取一箱，从中任取一个为废品 的概率。 (2)若将所有产品开箱混放，求任取一 个为废品的概率. 例3某射击小组共有20名射手，其中 级射手5人，二级射手8人，三级射手7 人.一、二、三级射手能通过选拔进入决赛 的概率分别是0.9,0.7,0.5.求在小组内任 选一名射手，该射手能通过选拔进入决赛的 概率 反思感悟 “化整为零”求多事件的全概率问题： (1)如图，P(B)=∑P(A,)P(B4,) 2 BA A A3 BA BA2 A2 图4-1-2 (2)已知事件B的发生有各种可能的 情形A;(i=1,2,…,n),事件B发生的 可能性，就是各种可能情形A,发生的可能 性与已知在A:发生的条件下事件B发生的 可能性的乘积之和 第四章概率与统计。 B变式训练3 甲箱的产品中有5个正品和3个次品， 乙箱的产品中有4个正品和3个次品 (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个 产品都是次品的概率. (2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱 中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出 的这个产品是正品的概率 学(35 高中数学选择性必修第二册人教B版 川要点3贝叶斯公式的应用 贝叶斯公式：一般地，当1>P(A)>0且 P(B)>0时，有P(AIB)=P4)PBA)= P(B) P(A)P(BIA) P(A)P(BIA)+P(A)P(BIA) 例4设某批产品中，甲、乙、丙三厂 生产的产品分别占45%，35%，20%，各厂 产品的次品率分别为4%，2%，5%，现从中 任取一件. (1)求取到的是次品的概率， (2)经检验发现取到的产品为次品，求 该产品是甲厂生产的概率 反思感悟 条件概率的内含： (I)公式PA,B)=P4B=P(AP(BA) P(B) P(B) 反映了P(AB),P(A),P(B),P(AB), P(BM)之间的互化关系. (2)P(A)称为先验概率，P(AB)称为 :后验概率，其反映了事件A1发生的可能在 各种可能原因中的比重 (36)学 B变式训练④ 同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应 由长期的经验知，三家的正品率分别为 0.95,0.90,0.80,三家产品数所占比例为2： 3:5,混合在一起. (1)从中任取一件，求此产品为正品的 概率。 (2)现取到一件产品为正品，问它是由 甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能 性大. 数学文化 例“石头、剪刀、布”，又称“猜丁 壳”，是一种流传多年的猜拳游戏，其游戏 规则是：“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜 “布”，而“布”又胜“石头”.若所出的拳相 同，则为和局.小明和小华两位同学进行 “五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏 比赛，则小华获胜的概率是() B. c D品高中数学选择性必修第二册人教B版 A,“乙、丙二人相邻”为事件B,则所求概率为P(BM), 而M:袋-号，AnB表示事作甲、乙且乙、丙相 1 邻，故PMn8=光-0于是代)-} 241 5 数学文化 例1B【解析】由八卦图，可知八卦中全为阳线和全 为阴线的卦各有一个，两阴一阳和两阳一阴的卦各有三 个，而事件A所包含的情况可分为两种，即第一种是取 到的两卦中一个为两阳一阴，另一个为全阴；第二种是 两卦中均为一阳两阴：而事件A∩B中只包含后者，即 PAnB)=是-京事件B的楼率PBl-号=是 C8-28 P4B)-登-石，放速B 14 变式训练4A【解析】由题意，P4)=兰，PAnB) A P(AIB)=P(40B)2 PA),P(B)=4x33 P(B) 4x33=9 44 4.1.2乘法公式与全概率公式 要点精析 例10.4【解析】记“射中第一个目标”为事件A, “射中第二个目标”为事件B,则P(4)=0.8,P(B4)=0.5. .P(AB)=P(BA)P(A)=0.8x0.5=0.4,即这个选手过关的 概率为0.4. 变式训练1【解析】设A(山，2)为第i次抽到 合格品的事件，则有PaA,-Pa)Pa)=0×9 品 例2解：如果用A1,A2分别表示居民所遇到的一位同 学是甲班的与乙班的事件，B表示是女生的事件，则2= AUA2,且A1,A2互斥，BC2,由题意，可知P(A)= 名，PA,-令，且PBH,)=子，PB,)了由全概率 公式可知 P(B)=P(Ai)P(BIA)+P(A2)P(BMA2)=5x3+3x1=1 =8x58x3=2 变式训练2解：记事件A,B分别为甲、乙两厂的产 40 品，事件C为废品，则2=AUB,且A,B互斥. (①由题意，得P4)8号，P(B)=8号 505, PCM)0P(GB)0由全摄率公式，得P(C)= PAPCA() (2）A3k00o号.PAB00D 20×120 =号，PGH)0PGB)0由全概率公式，得PC P(A)P(CA)+P(B)P(CIB)=5x3+4×L1=⊥ 9*509*20181 例3解：设事件A表示“射手能通过选拔进人比赛”· 设事件B,表示“射手是第i级射手”(=1,2,3)，显然， 0=B+R+.且PB)=},PA-品号，P 20,P(1IB,)-0.9,P(4IB,)=0.7,P(AIB,)=0.5.由全概率 公式得到P(A)=P(AIB1)P(B1)+P(AIB2)P(B,)+P(AIB3)P(B3) =09x}+07x号+05x30-068 变式训练3解：(1)从甲箱中任取2个产品的样本点 有C-87-28个，这2个产品都是次品的样本点有C =3个，∴.这2个产品都是次品的概率为3 28 (2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正 品”，事件B,为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事 件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B:为 “从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B、事件 R,事件彼此五斥，PNa)-8-各NBCC-点， C8281 P)-是-克Pa-号，P4B-gPA)- 号，PA)-BPAB)+PaP4B,)+PB,P4B) 5×2155.347 14×3+28×928912 例4解：记事件A=“该产品为甲厂生产的”，事件A= “该产品为乙厂生产的”，事件A=“该产品为丙厂生产 的”，事件B=“该产品是次品”，则2=A1UAUA3,且 A1,A2,A3两两互斥，由题设，知P(A)=45%,P(A2)= 35%,P(A3)=20%,P(B41)=4%,P(BA2)=2%,P(BA) =5%. （D由全概率公式，得P(B=立PA)P(BA)= 3.5% (2)由贝叶斯公式（或条件概率定义），得 PAB)=P4B)=P4)P(B4)-18 P(B)P(B)35 变式训练4解：设事件A表示取到的产品为正品，B, B2,B分别表示产品由甲、乙、丙厂生产.则2=BU B2UB3,且B1,B2,B,两两互斥，由已知P(B)=0.2, P(B2)=0.3,P(B)=0.5,P(AIB1)=0.95,P(AIB2)=0.9 P(AIB3)=0.8. (1)由全概率公式，得P(A)=∑P(B,)P(AB)=0.2× 0.95+0.3×0.9+0.5×0.8=0.86. (2)由贝叶斯公式，得P(B,A)=PB)PAIB) P(A) 02x095=8,PBM)=PB,)P4B,=0.3x0.927 0.86 P(A) 0.8686 P(B,A)=PB,)P(AIB)=0.5x0.840_20 P(A) 0.868643 对以上3个概率作比较，可知这件产品由丙厂生产 的可能性最大 数学文化 例D【解析】根据“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜 “布”，而“布”又胜“石头”，可得每局比赛中小华胜 小明、小华与小明和局和小华输给小明的概率都为了， 小华获胜有三种情况： ①小华连胜三局，概率为P=(兮广易 ②小华前三局中两胜另一局不胜，第四局小华胜，概 率为P=C号川号)兮)号 ③小华前四局中两胜，另两局不胜，第五局小华胜， 概率为P=C(兮月号兮) 小华获鞋的概率是P+立号-品放 选D. 4.1.3独立性与条件概率的关系 要点精析 例1AC【解析】把一枚硬币掷两次，对于每次而言是 相互独立的，其结果不受先后次序的影响，故选项A中 参考答案。 A,B事件是相互独立事件；选项B中是不放回地摸球， 显然A事件与B事件不相互独立：对于C,A事件为出 现1,3,5点，P4)=,在事件B发生的条件下事件A 发生的概率P(AB)=)=P(A),事件A,B相互独立： 选项D中两事件是互斥事件，不是相互独立事件，故选 AC. 变式训练1A【解析】事件A1是否发生对事件A,的发 生没有影响，故A,与A2是相互独立事件. 例2解：记事件A表示“进入商场的一位顾客购买甲 种商品”，则P(A)=0.5:记事件B表示“进入商场的一 位顾客购买乙种商品”，则P(B)=0.6;记事件C表示 “进人商场的一位顾客，甲、乙两种商品都购买”；记事 件D表示“进人商场的一位顾客只购买甲种商品” (1)易知C=AB,则 P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.6=0.3. (2)易知D=AB,则 P(D)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2. 变式训练2解：令事件A,B,C分别表示A,B,C 三个公司的研究机构在一定时期内成功开发出新软件， 依题意，可知事件A,B,C相互独立，且P(4)=5, PB)=,PC)=号 (1)他们都开发出新软件，即事件A,B,C同时发 生，放PMBc-4BnC-号xX写O (2)只有A公司开发出新软件，即事件A,B,C 同时发生，P=PA)P(B)P(C)=x3x2= 5×4×310 例3解：(1)设事件C为“一天中甲学生午餐和晚餐 都选择A餐厅就餐”，事件D为“乙学生午餐和晚餐都 选择B餐厅就餐”，100天中甲学生午餐和晚餐都选择 A餐厅就餐的天数为30，乙学生午餐和晚餐都选择B 餐厅就餐的天数为40 PC=0-03,PD=0-04 100 (2)由题知P(NM)>P(NM),即PNM>P(M)= P(M)P(M) P(N)-PNM),即P(NM)>P(N)P(M),即P(NM)- 1-P(M) P(N)P(NM)>P(N)P(M)-P(N)P(NM),P(NM)P(N)> 41