第二章 等式与不等式-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册学习手册（人教B版）
2023-10-15
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教辅
内容正文：
学
高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版
学 习 目 标
1.
会用量词和逻辑语言梳理等式的性质
.
2.
理解恒等式的概念， 掌握常用的恒等
式， 会进行恒等变形
.
3.
熟练掌握 “十字相乘法” 分解因式
.
4.
理解方程解集的概念， 会求常见方程
以及含参的一次方程、 二次方程的解集
.
5.
通过对等式推理的基本形式和规则的
训练， 探索出解方程的核心方法， 培养学生
逻辑推理和数学运算的核心素养
.
要 点 精 析
要点
1
恒等式的运用
含有字母的等式， 如果其中的字母取任
意实数时等式都成立， 则称其为恒等式， 也
称等式两边恒等
.
恒等式是进行代数变形的依据之一， 如
（
x-y
）
2
=
［
x+
（
-y
）］
2
=x
2
+2x
（
-y
）
+
（
-y
）
2
=x
2
-2xy+y
2
.
上式即利用了代换的思想， 根据两数和
的平方公式推导出了两数差的平方公式
.
例
1
化简： （
2x+1
）
2
-
（
x-1
）
2
.
分析 解本题有两种方法： 一是利用
两数和（差）的平方公式展开， 合并同类项；
二是利用原式
A
2
-B
2
的结构， 考虑平方差公
式
.
方法二较为简便， 利用了整体思想
.
解： 方法一：
（
2x+1
）
2
-
（
x-1
）
2
=
（
4x
2
+4x+1
）
-
（
x
2
-2x+1
）
=3x
2
+6x.
方法二：
（
2x+1
）
2
-
（
x-1
）
2
=
［（
2x+1
）
+
（
x-1
）］［（
2x+1
）
-
（
x-1
）］
=3x
（
x+2
）
=3x
2
+6x.
反思感悟
方法二是将
2x+1
看成平方差公式
A
2
-
B
2
=
（
A+B
）（
A-B
）中的
A
， 将
x-1
看成
B.
变式训练
1
化简： （
1
） （
a
2
+4
）
2
-16a
2
；
（
2
） （
m
2
+1
）（
m+1
）（
m-1
）
-
（
m
4
+1
）
.
第二章 等式与不等式
2.1 等 式
2.1.1 等式的性质与方程的解集
30
第二章 等式与不等式
学
例
2
若
4x
2
-3
（
a-2
）
x＋25
是完全平方式，
则
a
的值为 （ ）
A. -
14
3
B.
26
3
C. -
14
3
或
26
3
D.
不存在
分析 依据平方项的特点， 写出完全
平方公式， 再通过解方程求出未知量
.
解析：
∵4x
2
-3
（
a-2
）
x＋25
＝
（
2x
）
2
-3
（
a-2
）
x＋
（
±5
）
2
＝
（
2x±5
）
2
，
即
4x
2
-3
（
a-2
）
x＋25＝
（
2x＋5
）
2
或
4x
2
-3
（
a-2
）
x＋
25＝
（
2x-5
）
2
.
∴-3
（
a-2
）
＝20
或
-3
（
a-2
）
＝-20.
解得
a＝-
14
3
或
a＝
26
3
.
故选
C.
变式训练
2
若
x
2
+
（
a-2
）
x+9
是一个完全平方式， 则
a
的取值集合为
.
思考 你能写出 “立方和” 与 “立方
差” 公式吗？
要点
2
十字相乘法
二次三项式
x
2
+Cx+D
的因式分解：
C=a+b
，
D=ab圯x
2
+Cx+D=
（
x+a
）（
x+b
）
.
二次三项式
Ex
2
+Fx+G
的因式分解：
E=ac
，
F =ad +bc
，
G=bd圯Ex
2
+Fx +G =
（
ax+b
）（
cx+d
）
.
例
3
分解因式：
x
2
+2x-15.
分析
0>-15=ab
，
0<2=a+b
， 从而
a
，
b
一正一负
.
1 -3
1 5
-15=
（
-3
）
×5
，
2=
（
-3
）
+5.
解：
x
2
+2x-15=
（
x-3
）（
x+5
）
.
例
4
分解因式：
3x
2
+11x+10.
分析 根据十字相乘 “配凑”：
1 2
3 5
1×3=3
，
2×5=10
，
1×5+2×3=
11圯3x
2
+11x+10=
（
x+2
）（
3x+5
）
.
解：
3x
2
+11x+10=
（
x+2
）（
3x+5
）
.
变式训练
3
利用十字相乘法分解因式：
（
1
）
2x
2
-7x+3
；
（
2
）
5x
2
-4xy-y
2
；
（
3
）
10
（
x+2
）
2
-29
（
x+2
）
+10.
反思感悟
利用十字相乘法分解因式的步骤：
（
1
） 竖分二次项与常数项；
（
2
） 交叉相乘再相加；
（
3
） 检验确定， 横写因式
.
要点
3
方程的解集
把一个方程所有解组成的集合称为这个
方程的解集
.
例
5
分别解关于
x
的方程
.
（
1
）
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