第一章 集合与常用逻辑用语-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册学习手册（人教B版）

第一章 集合与常用逻辑用语 学 学 习 目 标 1. 通过实例， 了解集合的含义， 理解元 素与集合之间的关系， 了解空集、 集合相等 的含义 . 2. 掌握集合中元素的特点 . 3. 能用自然语言、 图形语言、 符号语言 刻画集合， 能选择列举法或描述法表示不同 的集合 . 4. 掌握集合的分类与几种常见数集的表 示方法 . 5. 理解区间的概念及其表示方法， 会用 区间表示实数集 . 要 点 精 析 要点 1 集合与元素的相关概念 1. 集合的概念 一般地， 把一些能够确定的、 不同的对 象汇集在一起， 就说由这些对象组成一个集 合 （有时简称为集）， 组成集合的每个对象 都是这个集合的元素 . 集合通常用英文大写字母 A ， B ， C ， … 表示， 集合的元素通常用英文小写字母 a ， b ， c ， …表示 . 思考 你能举出一个集合的例子吗 ？ 并指出它的元素 . 2. 元素与集合的关系 思考 举出一个集合的例子， 你能用 符号表示某一个对象与你所举的集合之间 的关系吗？ 3. 集合的分类 集合可以根据它含有的元素个数分为两 类： 含有有限个元素的集合称为有限集， 含 有无限个元素的集合称为无限集 . 一般地， 我们把不含任何元素的集合称 为空集， 记作 芰. 注： 0埸芰. 思考 你能举出一个有限集、 一个无 限集的例子吗？ 例 1 下列各组对象能否构成集合？ 若 能， 请指出它们是有限集还是无限集 . ① 比较接近 1 的正数的全体； ② 最小的自然数； 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集 合 1.1.1 集合及其表示方法 关系 语言表达 符号 读法 属于 a 是集合 A 的元素 a∈A a 属于 A 不属于 a 不是集合 A 的元素 a埸A a 不属于 A 1 学 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 ③ 在平面直角坐标系中所有第三象限 的点； ④ 小于 18 的， 既是正奇数又是质数的数； ⑤ 在实数范围内方程组 x 2 -x+1=0 ， x+y= = 1 的 解的全体 . 分析 根据集合的定义来判断对象能 否确定一个集合， 再根据描述来判断集合 中元素的个数 . 解： 对于 ① ， “比较接近 1 ” 的判断标 准不明确， 故不能构成集合； 对于 ②③④⑤ ， 都能构成集合， 其中 ② ④⑤ 是有限集， ③ 是无限集 . 变式训练 1 下列各组对象能否构成集合？ 若能， 请 指出它们是有限集还是无限集 . （ 1 ） 接近 3 姨 的实数； （ 2 ） 方程 x 2 -2x-3=0 的所有解； （ 3 ） 小于 1 500 的正奇数 . 要点 2 集合的元素的三个特征 集合的元素具有以下特点： （ 1 ） 确定性： 集合的元素必须是确定的； （ 2 ） 互异性： 对于一个给定的集合， 集 合中的元素一定是不同的； （ 3 ） 无序性 ： 集合中的元素可以任意 排列 . 思考 关于集合元素的三个特征， 你 能举出正反两方面的例子吗？ 例 2 （多选题） 下列说法正确的是 （ ） A. 不等于 3 的所有奇数可以组成一个 集合 B. 高一年级的所有高个子同学可以组 成一个集合 C. {1 ， 3 ， 5} 与 {3 ， 1 ， 5} 是不同的 集合 D. 由 0 ， 1 ， 1 ， 4 ， 0 组成的集合有三个 元素 分析 根据集合的元素的三个特征进 行判断 . 解析： 可根据集合中元素的确定性进行 判断， 故 A 正确； “高个子” 的判断标准不明确， 故不能 组成集合， 故 B 错误； 两个集合的元素完全相同， 由集合中元 素的无序性可知两个集合是相同的集合， 故 C 错误； 根据集合中元素的互异性可知 ， 由 0 ， 1 ， 1 ， 4 ， 0 组成的集合中只有 0 ， 1 ， 4 三个元素， 故 D 正确 . 故选 AD. 变式训练 2 下列说法： ① 高一年级所有的矮个女同 学可以组成一个集合； ② 所有的正偶数可以 2 第一章 集合与常用逻辑用语 学 组成一个集合； ③ {1 ， -1} 和 {x｜x 2 =1} 是相 同的集合； ④ {1 ， -1 ， ｜-1｜} 是含有三个元 素的集合 . 其中正确的个数为 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 例 3 设 x∈R ， 集合 A 中含有三个元 素 3 ， x ， x 2 -2x. （ 1 ） 求实数 x 应满足的条件； （ 2 ） 若 8∈A ， 求实数 x 的值 . 分析 （ 1 ） 根据集合的元素的互异性 列出关于 x 的不等式； （ 2 ） 根据元素与集 合的关系， 分类讨论列关于 x 的方程， 注 意要验证互异性 . 解： （ 1 ） 由题意得， x≠3 ， x≠x 2 -2x ， x 2 -2x≠