9.3 数学探究活动得到不可达两点之间的距离-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册同步练习（人教B版）

练 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 基 础 练 习 一、 选择题 1. 如图， 设 A ， B 两点在河的两岸， 为 测量 A ， B 两点间的距离， 小明同学在 A 的 同侧选定一点 C ， 测出 A ， C 两点间的距离 为 80 m ， ∠ACB= 5π 12 ， ∠BAC= π 3 ， 则小明 同学计算出的 A ， B 两点间的距离为 （ ） A. 40 6 姨 m B. 40 （ 1+ 3 姨 ） m C. 40 3 姨 m D. 40 （ 2 姨 + 6 姨 ） m 2. 如图， 为了测量河 对岸两点 C ， D 间的距 离， 现在沿岸相距 2 km 的两点 A ， B 处分别测得 ∠BAC =105° ， ∠BAD = 60° ， ∠ABC=45° ， ∠ABD=60° ， 则 C ， D 间 的距离为 （ ） A. 2 姨 km B. 2 km C. 4 2 姨 km D. 4 km 3. 小李在某大学测 绘专业学习， 节日回家， 来 到 村 头 的 一 个 池 塘 （如图阴影部分）， 为了 测量该池塘两侧 C ， D 两点间的距离， 除了 观测点 C ， D 外， 他又选了两个观测点 P 1 ， P 2 ， 且 P 1 P 2 =a ， 已经测得两个角 ∠P 1 P 2 D=α ， ∠P 2 P 1 D=β ， 由于条件不足， 需要再观测新的 角， 则利用已知观测数据和下面三组新观测 的角的其中一组， 就可以求出 C ， D 间距离 的是 （ ） ①∠DP 1 C 和 ∠DCP 1 ； ②∠P 1 P 2 C 和 ∠P 1 CP 2 ； ③∠P 2 DC 和 ∠DCP 1 . A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 4. （多选） 在 △ABC 中， 内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， a≠c ， tanB=2 2 姨 ， △ABC 的面积为 2 2 姨 ， 则 b 2 |a-c| 可能取到的 值为 （ ） A. 4 3 姨 B. 2 2 姨 C. 4 2 姨 D. 2 3 姨 5. 如图所示， 为了测量 A ， B 处岛屿的 距离， 小明在 D 处观测 A ， B 分别在 D 处的 北偏西 15° 、 北偏东 45° 方向， 从 D 处再往 正东方向行驶 40 n mile 至 C 处， 观测 B 在 C 处的正北方向， A 在 C 处的北偏西 60° 方 向， 则 A ， B 处岛屿间的距离为 （ ） A. 20 6 姨 n mile B. 40 6 姨 n mile C. 20 （ 1+ 3 姨 ） n mile D. 40 n mile 二、 填空题 6. 《九章算术》 中记载了 一个 “折竹抵地” 问题， 当 超强台风 “山竹” 登陆时再 9.3 数学探究活动： 得到不可达两点之间的距离 A B C A B C D C D P 1 P 2 D A B C 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 第 5 题图 第 6 题图 16 第九章 解三角形 练 现了这一现象 （如图所示）， 不少大树被大风 折断 . 某路边一树干被台风吹断后 （没有完 全断开）， 树干与地面成 75° 角， 折断部分与 地面成 45° 角， 树干底部与树尖着地处相距 10 m ， 则大树原来的高度是 m （结 果保留根号） . 7. 如图所示， 有 一条笔直的山路 BC ， 现在又新架设了一条 索道 AC. 小明在山脚 B 处看索道 AC ， 此时视角 ∠ABC＝120° ， 从 B 处攀登 200 m 到达 D 处， 回头看索道 AC ， 此时视角 ∠ADC＝150° ， 从 D 处再攀登 300 m 到达 C 处 . 则这条索道 AC 长为 m. 8. 在地面上某处， 测得塔顶的仰角为 θ ， 由此处向塔走 30 m ， 测得塔顶的仰角为 2θ ， 再向塔走 10 3 姨 m ， 测得塔顶的仰角为 4θ ， 则角 θ 的度数为 . 三、 解答题 9. 数学实践活动小组到附近的湿地公园 测量园内雕塑的高度 . 如图， 用测角仪在 A 处测得雕塑顶端点 C 的仰角为 30° ， 再往雕 塑方向前进 4 m 至 B 处， 测得仰角为 45°. 问 该雕塑有多高 . （测角仪高度忽略不计， 结果 不取近似值） 10. 某市一湿地公园建设项目中， 拟在 如图所示一片水域打造一个浅水滩， 并在 A ， B ， C ， D 四个位置建四座观景台， 在凸 四边形 ABCD 中， AB= 3 姨 km ， AD=BC= CD=1 km. （ 1 ） 用 cosA 表示 cosC ； （ 2 ） 现要在 A ， C 两处连接一根水下直 管道， 已知 cosA= 3 姨 6 ，