第八章 向量的数量积与三角恒等变换-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学必修第三册随堂练习（人教B版）

第八章 向量的数量积与三角恒等变换 1. 若 |a|=2 ， |b|=4 ， a 与 b 的夹角为 30° ， 则 a · b 的值是 （ ） A. 2 3 姨 B. 4 C. 4 3 姨 D. 8 3 姨 2. 已知 |b |=3 ， a 在 b 方向上的投影的数量为 3 2 ， 则 a · b 为 （ ） A. 3 B. 9 2 C. 2 D. 1 2 3. 已知平面上三点 A ， B ， C ， 满足 |A A# B |=3 ， |B AB C |=4 ， |C AB A |=5 ， 则 A AB B · B AB C +B AB C · C AB A +C AB A · A AB B 的值等于 （ ） A. -7 B. 7 C. 25 D. -25 4. 已知 |a|=3 ， |b|=4 ， 且 a · b=-6 ， 则 a 与 b 的夹角是 . 8.1 向量的数量积 8.1.1 向量数量积的概念 27 5. 已知 |a|=4 ， |b|=5 ， 当 （ 1 ） a∥b ； （ 2 ） a⊥b ； （ 3 ） a 与 b 的夹角为 30° 时， 分别求 a 与 b 的数量积 . 28 1. 设 a 与 b 的模分别为 4 和 3 ， 夹角为 60° ， 则 |a+b|= （ ） A. 37 B. 13 C. 37 姨 D. 13 姨 2. 若向量 a ， b ， c 满足 a∥b 且 a⊥c ， 则 c ·（ a+2b ） = （ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 3. 设 e 1 ， e 2 是两个单位向量， 它们的夹角为 60° ， 则 （ 2e 1 -e 2 ）· （ -3e 1 +2e 2 ） = （ ） A. -8 B. 9 2 C. - 9 2 D. 8 4. 已知 |a|=2 ， |b|=1 ， a 与 b 之间的夹角为 60° ， 那么 |a-4b| 2 = （ ） A. 2 B. 2 3 姨 C. 6 D. 12 5. 若非零向量 a ， b 满足 |a|=3|b|=|a+2b| ， 则 a 与 b 夹角的余弦 值为 . 8.1.2 向量数量积的运算律 29 6. 已知 e 1 ， e 2 是互相垂直的单位向量， a= 3 姨 e 1 -e 2 ， b=e 1 + 姿e 2 . （ 1 ） 若 a⊥b ， 求实数 姿 的值； （ 2 ） 若 a 与 b 的夹角为 60° ， 求实数 姿 的值 . 30 1. 已知点 A （ 1 ， 2 ）， B （ 2 ， 3 ）， C （ -2 ， 5 ）， 则 A A" B · A A" C 等于 （ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 2. 已知向量 m= （ 姿+1 ， １ ）， n= （ 姿+2 ， 2 ）， 若 （ m+n ） ⊥ （ m-n ）， 则 姿= （ ） A. -4 B. -3 C. -2 D. -1 3. 平面向量 a 与 b 的夹角为 60° ， a= （ 2 ， 0 ）， |b|=1 ， 则 |a+2b|= （ ） A. 3 姨 B. 2 3 姨 C. 4 D. 12 4. 若向量 a= （ 1 ， 2 ）， b= （ 1 ， -1 ）， 则 2a+b 与 a-b 的夹角等于 （ ） A. - π 4 B. π 6 C. π 4 D. 3π 4 5. 设向量 a 与 b 的夹角为 兹 ， 且 a= （ 3 ， 3 ）， 2b-a= （ -1 ， 1 ）， 则 cos兹= . 8.1.3 向量数量积的坐标运算 31 6. 已知平面向量 a= （ 1 ， 3 ）， b= （ 2 ， 姿 ）， 设 a 与 b 的夹角为 兹. （ 1 ） 若 兹=120° ， 求 姿 的值； （ 2 ） 要使 兹 为锐角， 求 姿 的取值范围 . 32 1. cos （ -15° ） 的值是 （ ） A. 6 姨 - 2 姨 2 B. 6 姨 + 2 姨 2 C. 6 姨 - 2 姨 4 D. 6 姨 + 2 姨 4 2. 已知 cos （ α+β ） +cos （ α-β ） = 1 ３ ， 则 cosαcosβ 的值为 （ ） A. 1 2 B. 1 ３ C. 1 4 D. 1 6 3. 已知 α 为第二象限角， 若 sinα= 3 5 ， 则 cos α+ π 4 4 # = （ ） A. - 7 2 姨 10 B. 7 2 姨 10 C. - 2 姨 10 D. 2 姨 10 4. 求证： cos （ 27°+x ） sin （ 57°+x ） -sin （ 207°+x ） sin （ 327°+x ） = 1 2 . 8.2 三角恒等变换 8.2.1 两角和与差的余弦 33 5. 设 α ， β 都是锐角， 且 cosα= 5