3.4.1直线的方向向量与平面的法向量（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第一册）

3.4.1直线的方向向量与平面的法向量 研究 从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用. 广东省阳江市第一中学周如钢 共线向量定理: 引入、复习 共面向量定理: O P 探究点 点,直线，平面的位置向量 知识要点2 A B P 空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A 以及一个定方向确定. 知识要点2 一.直线的方向向量与直线的向量表示 A B P 此方程称为直线的向量参数方程. 问:t=0时? 注: ⑴ 向量方程两要素:定点A,方向向量 ⑵ t为参数,且t是实数, ①或②或③都叫做空间直线的向量参数方程. A O M B P l 直线的向量方程①,还可作如下的表示:对空间任一个确定的点O(如图所示),点P在直线l上的充要条件是存在惟一的实数t,满足等式 ② 如果在l上取 则②式可化为 即 ③ P P P P P B P M B P M B P M B P A M B P A M B P A M B P A M B P A M B P P P P B P M B P M B P M B P M B P M B P M B P B P B P M B P M B P A M B P A M B P A M B P A M B P A M B P A M B P A M B P 注: ⑴当t= 时, .此时P是线段AB的中 点,这就是线段AB中点的向量表达式. ⑵ ③中 有共同的起点. ⑶ ③中 的系数之和为1. 例1：在空间直角坐标系中，已知点，，点是线段上的一点，且，求点的坐标 解：设点的坐标为， 由题意可知：，且， ∴． 即，，解得． ∴点的坐标为． 例2：在空间直角坐标系中，已知点，，，点为直线上的一点，且，求． 解：依题意知，，． 因为点为直线上的一点，所以存在实数，使得， 则． 由，得， 即，解得．∴． 变式1：(多选)若点，在直线上，则直线的一个方向向量是( ) A. B. C. D. 解：因为点，在直线上，，所以向量，都是直线的方向向量．故选AB． 变式2：已知直线经过点，直线的一个方向向量为．若是直线上任意一点，求满足的关系式． 解：由题意知． 因为是的方向向量，所以∥， 所以．所以满足关系式为 ． 变式3：如图，在三棱台中，，，，设，，，以为空间的一组基，求直线，的一个方向向量． 解： ． 所以直线的一个方向向量是． ．∴直线的一个方向向量为． 二.平面的法向量及其应用 平面的法向量   A l P 平面 α的向量式方程 换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量. o x y z A B C O1 A1 B1 C1 巩固. 如图所示, 正方体的棱长为1 直线OA的一个方向向量坐标为___________ 平面OABC 的一个法向量坐标为___________ 平面AB1C 的一个法向量坐标为___________ (-1,-1,1) (0,0,1) (1,0,0) 知识要点2 例5 在正方体 中，求证： 是平面 的一个法向量. 例6 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是 正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1 ,E是PC 的中点， 求平面EDB的一个法向量. A B C D P E 解：如图所示建立空间直角坐标系. X Y Z 设平面EDB的法向量为 例7 在空间直角坐标系内，设平面 经过点 ，平 面 的法向量为 ， 是平面 内任意 一点，求 满足的关系式。 解　：由题意得 因为 是平面的法向量，所以 从而 即 所以满足条件的关系式为： 得到 平面可以用关于x,y,z的三元一次方程来表示 上式叫做：平面ɑ的方程 向量法做立体几何：非坐标 平面向量 前面,我们把 空间向量 推广到 立体几何问题 (研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形) 向量 渐渐成为重要工具 在空间中，我们取一定点 作为基点，那么空间中任意一点 的位置就可以用向量 来表示，我们把向量 称为点 的位置向