第八章向量的数量积与三角恒等交换章末测试卷(一)-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学必修第三册同步练习（人教B版）

高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 一、 单项选择题： 本题共 １０ 小题， 每小题 ５ 分， 共 ５０ 分， 在每小题给出的四个选 项中， 只有一项是符合题目要求的 . 1. ｃｏｓ ２ ７５°＋ｃｏｓ ２ １５°＋ｃｏｓ７５°ｃｏｓ１５° 的值是 （ ） Ａ. 5 4 B. 6 姨 2 C. 3 2 D. 1+ 2 姨 3 ２. 已知 锐 角 α 满 足 ｃｏｓ α+ π 6 6 # = 3 5 ， 则 ｓｉｎ 2α+ π 6 6 6 ＝ （ ） Ａ. 12 25 B. ± 12 25 C. 24 25 D. ± 24 25 ３. 已知 O %& A ＝ （ ２ ， ８ ） ， O %& B ＝ （ －７ ， ２ ） ， 则 1 3 A %& B ＝ （ ） Ａ. （ ３ ， ２ ） Ｂ. 10 3 Ｃ. （ －３ ， －２ ） Ｄ. 5 4 ４. 已知平面向量 ａ＝ （ ２ ， －１ ）， ｂ＝ （ １ ， ３ ）， 那 么 |ａ＋ｂ| 等于 （ ） Ａ. ５ Ｂ. 13 姨 Ｃ. 17 姨 Ｄ. １３ ５. 设向量 ａ ， ｂ 均为单位向量， 且 |ａ＋ｂ |＝１ ， 则 ａ 与 ｂ 的夹角为 （ ） Ａ. π 3 B. π 2 C. 2π 3 D. 3π 4 ６. 若 |ａ|＝|ｂ|＝１ ， ａ⊥ｂ ， 且 （ ２ａ＋３ｂ ） ⊥ （ ｋａ－４ｂ ）， 则 ｋ＝ （ ） Ａ. －６ Ｂ. ６ Ｃ. ３ Ｄ. －３ ７. ｙ＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋ｓｉｎ ２ ｘ 可化为 （ ） Ａ. ｙ＝ 2 姨 2 ｓｉｎ 2x- π 4 6 6 + 1 2 B. ｙ＝ 2 姨 ｓｉｎ 2x+ π 4 6 6 - 1 2 C. ｙ＝ｓｉｎ 2x- π 4 6 6 + 1 2 D. ｙ＝2ｓｉｎ 2x+ 3π 4 6 6 +1 ８. 若平面向量 ａ＝ （ －１ ， ２ ） 与 ｂ 的夹角是 １８０° ， 且 |ｂ|＝３ 5 姨 ， 则 ｂ 的坐标为 （ ） Ａ. （ ３ ， －６ ） Ｂ. （ －３ ， ６ ） Ｃ. （ ６ ， －３ ） Ｄ. （ －６ ， ３ ） ９. 若 α 为锐角 ， ３ｓｉｎα＝ｔａｎα＝ 2 姨 ｔａｎβ ， 则 ｔａｎ２β 等于 （ ） Ａ. ３ ４ B. ４ ３ C. - ３ ４ D. - ４ ３ １０. 在 △ＡＢＣ 中， 若 （ B %& C ＋B %& A ）· A %& C ＝|A %& C | ２ ， 则 △ＡＢＣ 的形状一定是 （ ） Ａ. 等边三角形 Ｂ. 等腰三角形 Ｃ. 直角三角形 Ｄ. 等腰直角三角形 二、 多项选择题： 本题共 ２ 小题， 每小题 ５ 分， 共 １０ 分 . 在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求， 全部选对的得 ５ 分， 部分选对的得 ２ 分， 有选错的得 ０ 分 ． １１. 设向量 ａ＝ （ １ ， ０ ）， ｂ＝ 1 2 ， 1 2 6 6 ， 则下列 结论中正确的是 （ ） 第八章章末测试卷 （一） 时间： 120 分钟 满分： 150 分 8 Ａ. |ａ|＞|ｂ| Ｂ. ａ · ｂ＝ 1 2 Ｃ. ａ－ｂ 与 ｂ 垂直 Ｄ. ａ∥ｂ １２. 下列各式中， 值为 3 姨 2 的是 （ ） Ａ. ２ｓｉｎ１５°ｃｏｓ１５° Ｂ. ｃｏｓ ２ １５°－ｓｉｎ ２ １５° Ｃ. １－２ｓｉｎ ２ １５° Ｄ. ｓｉｎ ２ １５°＋ｃｏｓ ２ １５° 三、 填空题： 本题共 ４ 小题， 每小题 ５ 分， 共 ２０ 分 ． １３. 若向量 ａ＝ （ １ ， ２ ）， ｂ＝ （ １ ， －１ ）， 则 ２ａ＋ｂ 与 ａ－ｂ 的夹角等于 ． １４. 化简 ｔａｎ１４° １－ｔａｎ ２ １４° ｃｏｓ２８° 的结果为 ． １５. 若向量 ａ ， ｂ 的夹角为 １２０° ， |ａ|＝１ ， |ｂ|＝ ３ ， 则 |５ａ－ｂ|＝ ． １６. 已知 α∈ π 2 ， ， % π ， 且 ｓｉｎα＝ 3 5 ， 则 ｓｉｎ ２ α 2 ＋ ｓｉｎ４αｃｏｓ２α １＋ｃｏｓ４α 的值为 ． 四、 解答题： 本题共 ４ 小题， 共 ４０ 分， 解 答应写出必要的文字说明、 证明过程或 演算步骤 ． １７. 已知 ａ＝ （ ｃｏｓα ， ｓｉｎα ）， ｂ＝ （ ｃｏｓβ ， ｓｉｎβ ）， ０＜α＜β＜π． （ １ ） 求 |ａ| 的值； （ ２ ） 求证： ａ＋ｂ 与 ａ－ｂ 互相垂直 ． １８. 已知 ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ 1 3 ， 且 ０＜α＜π ， 求 ｓｉｎ２α ， ｃｏｓ２α ， ｔａｎ２α 的值 ． １９. 已知 ａ ， ｂ ， ｃ 是同一平面内的三个向量， 其中 ａ＝ （ １ ， ２ ） ． （ １ ） 若 |ｂ|＝２ 5 姨 ， 且 ａ∥