7.2 任意角的三角函数-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

第七章 三角函数 学 学 习 目 标 １. 理解并掌握任意角的三角函数的定义 . ２. 能根据任意角的三角函数的定义， 分析 出三角函数在各象限的符号， 并能根据角 α 的 某种三角函数值符号， 判断出 α 所在的象限 . ３. 通过任意角三角函数的定义， 认识到 锐角三角函数是任意角三角函数的一种特 例， 加深对特殊与一般关系的理解 . 要 点 精 析 要点 1 求三角函数值 任意角的三角函数 以角 α 的顶点 Ｏ 为坐 标原点， 以角 α 的始边的方 向作为 ｘ 轴的正方向， 建立 直角坐标系 ｘＯｙ （如图所 示）， 并且使 ∠ｘＯｙ＝９０°. 在角 α 终边上任取一点 Ｐ （ ｘ ， ｙ ）， 则 ＯＰ 的长度记为 ｒ＝ x 2 +y 2 姨 . （ １ ） 称 y r 为角 α 的正弦， 记作 ｓｉｎα ， 即 ｓｉｎα＝ y r ， 定义域为｛ α｜α∈Ｒ ｝； （ ２ ） 称 x r 为角 α 的余弦 ， 记作 ｃｏｓα ， 即 ｃｏｓα＝ x r ， 定义域为｛ α｜α∈Ｒ ｝； （ ３ ） 称 y x 为角 α 的正切， 记作 ｔａｎα ， 即 ｔａｎα＝ y x ， 定义域为 α｜α≠ｋπ＋ π 2 ， ｋ∈Ｚ % & . 这三个对应法则都是以 α 为自变量的函 数， 分别称为角 α 的正弦函数、 余弦函数和 正切函数 . 例 １ 如图， ∠ＡＯＰ＝ π 3 ， 点 Ｑ 与点 Ｐ 关于 ｙ 轴 对称， Ｐ ， Ｑ 都为角的终边 与单位圆的交点 . 求： （ １ ） 点 Ｐ 的坐标； （ ２ ） ∠ＡＯＱ 的正弦函数值、 余弦函数值 . 解： （ １ ） 设点 Ｐ 的坐标为 （ ｘ ， ｙ ）， 则 ｘ＝ｃｏｓ∠ＡＯＰ＝ｃｏｓ π 3 ＝ 1 2 ， ｙ＝ｓｉｎ∠ＡＯＰ＝ｓｉｎ π 3 ＝ 3 姨 2 . 故点 Ｐ 的坐标为 1 2 ， 3 姨 2 2 ( . （ ２ ） ∵ 点 Ｐ 与点 Ｑ 关于 ｙ 轴对称， ∴ 点 Ｑ 的坐标为 - 1 2 ， 3 姨 2 2 2 . 根据正弦函数、 余弦函数的定义可知 ｓｉｎ∠ＡＯＱ＝ 3 姨 2 ， ｃｏｓ∠ＡＯＱ＝- 1 2 . 反思感悟 利用定义求 α 的三角函数值， 其关键 是求出角的终边与单位圆的交点 Ｐ 的坐标 （ ｕ ， ｖ ） ， 由三角函数的定义得 ｓｉｎα ＝ｖ ， ｃｏｓα＝ｕ. 7.2 任意角的三角函数 7.2.1 三角函数的定义 图 7-2-2 图 7-2-1 13 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 变式训练 1 在平面直角坐标系中， 以 ｘ 轴的非负半 轴为角的始边， 如果角 α ， β 的终边分别与 单位圆交于点 12 13 ， 5 13 3 " 和 - 3 5 ， 4 5 3 " ， 那么 ｓｉｎαｃｏｓβ＝ （ ） Ａ. - 36 65 B. - 3 13 C. 4 13 D. 48 65 例 ２ 已知 θ 终边上一点 Ｐ （ ｘ ， ３ ） （ ｘ≠ ０ ）， 且 ｃｏｓθ＝ １0 姨 １0 ｘ ， 求 ｓｉｎθ 的值 . 解： 由题意知 ｒ＝｜ＯＰ｜＝ ｘ ２ ＋９ 姨 ， 由三角 函数定义得 ｃｏｓθ＝ x r ＝ x x 2 +9 姨 . 又 ∵ｃｏｓθ＝ 10 姨 10 ｘ ， ∴ x x 2 +9 姨 ＝ 10 姨 10 ｘ. ∵ｘ≠０ ， ∴ｘ＝±１. 当 ｘ ＝１ 时 ， Ｐ （ １ ， ３ ） ， 此 时 ｓｉｎθ ＝ 3 1 2 +3 2 姨 ＝ 3 10 姨 10 . 当 ｘ ＝-１ 时 ， Ｐ （ -１ ， ３ ） ， 此 时 ｓｉｎθ ＝ 3 （ -1 ） 2 +3 2 姨 ＝ 3 10 姨 10 . 综上所述， ｓｉｎθ＝ 3 10 姨 10 . 反思感悟 在解决有关角的终边在直线上的问题 时， 应注意到角的终边为射线， 所以应分 两种情况处理， 取射线上异于原点的任意 一点坐标 （ ａ ， ｂ ）， 则对应角的三角函数值 分别为 ｓｉｎα＝ b a 2 +b 2 姨 ， ｃｏｓα＝ a a 2 +b 2 姨 . 变式训练 2 已知角 α 的终边在直线 ｙ＝-３ｘ 上 ， 求 １０ｓｉｎα＋ 3 cosα 的值 . 要点 2 判断三角函数值的符号 三角函数在各个象限的符号 例 ３ 下列各式： ①ｓｉｎ１ １２５° ； ②ｔａｎ 37 １２ π · ｓｉｎ ３7 １2 π ； ③ sin4 tan4 ； ④ｓｉｎ｜-１｜. 其中为负值的 个数是 （ ） Ａ. １ Ｂ. ２ Ｃ. ３ Ｄ. ４ 解析 ： 对于 ① ， ∵１ １２５°＝１ ０８０°＋４５° ， ∴１ １２５° 是第一象限角， ∴ｓｉｎ１ １２５°＞０ ； 对于 ② ， 因 ３7 １2 π＝２π＋ 13 １2 π ，