7.1 任意角的概念与弧度制-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

第七章 三角函数 学 学 习 目 标 １. 掌握用 “旋转” 定义角， 理解并掌握 “正角” “负角” “象限角” “终边相同的 角” 的定义 . ２. 掌握所有与角 α 终边相同的角 （包括 角 α ） 的表示方法 . ３. 体会运动变化的观点， 深刻理解推广 后的角的概念， 了解角的概念的推广是为了 满足解决现实生活和生产中实际问题的需 要， 学会用数学的观点分析、 解决实际问 题， 通过训练各种角的表示法提高分析、 抽 象、 概括的能力 . 要 点 精 析 要点 1 角的概念的理解 角的概念 （ １ ） 角： 一条射线绕其端点旋转到另一 条射线所形成的图形称为角， 这两条射线分 别称为角的始边和终边 . 由于是旋转生成的， 也称为转角 . （ ２ ） 角的分类： 按旋转方向可将角分为如下三类： 思考 角的取值范围？ 例 １ 钟表的分针在一个半小时内转了 （ ） Ａ. １８０° Ｂ. -１８０° Ｃ. ５４０° Ｄ. -５４０° 解析： 钟表的分针是顺时针转动的， 每 转一周， 转过 -３６０° ， 当分针转过一个半小 时时， 它转了 -５４０°. 故选 Ｄ. 变式训练 1 将时钟拨快 ２０ 分钟， 则分针转过的度 数为 （ ） Ａ. １２０° Ｂ. １００° Ｃ. -１００° Ｄ. -１２０° 第七章 三角函数 7.1 任意角的概念与弧度制 7.1.1 角的推广 类型 定义 图示 正角 按逆时针方向旋转而形成 的角 负角 按顺时针方向旋转而形成 的角 零角 一条射线没有作任何旋转， 称它形成了一个零角 1 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 要点 2 旋转角与角的求和 角的加减法运算 引入正角、 负角的概念以后， 角的减法 运算可以转化为角的加法运算， 即 α-β 可以 化为 α＋ （ -β ） . 这就是说， 各角和的旋转量等 于各角旋转量的和 . 例 ２ 求和并作图表示： （ １ ） ６０°＋９０° ； （ ２ ） ９０°-３０° ； （ ３ ） -６０° -４５°. 解： （ １ ） ６０°＋９０°＝１５０° ； （ ２ ） ９０°-３０°＝６０° ； （ ３ ） -６０°-４５°＝-１０５°. 作图， 如图所示 . 变式训练 2 如图所示， 射线 ＯＡ 绕端点 Ｏ 逆时针旋 转 １５° 到 ＯＢ 位置， 接着顺时针旋转 ７５° 到 ＯＣ 位置， 然后逆时针旋转 １００° 到 ＯＤ 位置， 最后顺时针旋转 ８５° 到 ＯＥ 位置， 求 ∠ＡＯＥ 的度数 . 要点 3 象限角 象限角 （ １ ） 使角的顶点与坐标原点重合， 角的 始边落在 ｘ 轴的正半轴上， 角的终边在第几 象限， 把这个角称为第几象限角 . 如果终边在坐标轴上， 就认为这个角不 属于任何象限 . （ ２ ） ① 象限角的集合 第一象限角的集合 ｛ α｜ｋ · ３６０°＜α＜９０°＋ｋ · ３６０° ， ｋ∈Ｚ ｝ ＝ ｛ α ｜α＝β＋ｋ · ３６０° ， ０°＜β＜９０° ， ｋ∈Ｚ ｝ . 第二象限角的集合 ｛ α ｜９０°＋ｋ · ３６０°＜α＜ １８０°＋ｋ · ３６０° ， ｋ∈Ｚ ｝ ＝ ｛ α｜α＝β＋ｋ · ３６０° ， ９０°＜ β＜１８０° ， ｋ∈Ｚ ｝ . 第三象限角的集合 ｛ α｜１８０°＋ｋ · ３６０°＜α＜ ２７０°＋ｋ · ３６０° ， ｋ∈Ｚ ｝ ＝ ｛ α｜α＝β＋ｋ · ３６０° ， １８０°＜ β＜２７０° ， ｋ∈Ｚ ｝ . 第四象限角的集合 ｛ α｜２７０°＋ｋ · ３６０°＜α＜ ３６０°＋ｋ · ３６０° ， ｋ∈Ｚ ｝ ＝ ｛ α｜α＝β＋ｋ · ３６０° ， ２７０°＜ β＜３６０° ， ｋ∈Ｚ ｝ . ② 终边落在坐标轴上的角的集合 终边落在 ｘ 轴正半轴上的角的集合为 ｛ α｜α＝ｋ · ３６０° ， ｋ∈Ｚ ｝ . 终边落在 ｘ 轴负半轴上的角的集合为 ｛ α｜α＝ｋ · ３６０°＋１８０° ， ｋ∈Ｚ ｝ . 终边落在 ｘ 轴上的角的集合为 ｛ α｜α＝ｋ · １８０° ， ｋ∈Ｚ ｝ . 终边落在 ｙ 轴正半轴上的角的集合为 ｛ α｜α＝ｋ · ３６０°＋９０° ， ｋ∈Ｚ ｝ . 终边落在 ｙ 轴负半轴上的角的集合为 ｛ α｜α＝ｋ · ３６０°＋２７０° ， ｋ∈Ｚ ｝ . 终边落在 ｙ 轴上的角的集合为 ｛ α｜α＝ｋ · （ 1 ） （2 ） （ 3 ） 图 7-1-1 图 7-1-2 2 第七章 三角函数 学 １８０°＋９０° ， ｋ∈Ｚ ｝ . 终边落在坐标轴上的角的集合为 ｛ α｜α＝ ｋ · ９０° ， ｋ∈Ｚ ｝ . 例 ３ 已知角的顶点与坐标系的原点重 合， 始边落在 ｘ 轴的非负半轴上， 作出下列 各角， 判断它们在第几象限， 并指出在