8.2 三角恒等变换-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 1. 掌握两角和与差的余弦公式， 会利用 公式进行三角函数式的化简和求值 . ２. 掌握常用角的变换， 会利用公式进行 化简和求值 . 要 点 精 析 要点 1 公式的简单应用 例 1 （ 1 ） ｃｏｓ３４５° 的值等于 （ ） A. 2 姨 - 6 姨 4 B. 6 姨 - 2 姨 4 C. 2 姨 + 6 姨 4 D. - 2 姨 + 6 姨 4 （ ２ ） 化简下列各式： ①ｃｏｓ （ θ＋２１° ） ｃｏｓ （ θ－２４° ） ＋ｓｉｎ （ θ＋２１° ）· ｓｉｎ （ θ－２４° ）； ②－ｓｉｎ１６７° · ｓｉｎ２２３°＋ｓｉｎ２５７° · ｓｉｎ３１３°. （ １ ） 解析 ： ｃｏｓ３４５°＝ｃｏｓ （ ３６０°－１５° ） ＝ ｃｏｓ１５°＝ｃｏｓ （ ４５°－３０° ） ＝ｃｏｓ４５°ｃｏｓ３０°＋ｓｉｎ４５° ｓｉｎ３０°＝ 6 姨 + 2 姨 4 . 故选 Ｃ. （ ２ ） 解： ① 原式 ＝ｃｏｓ ［（ θ＋２１° ） － （ θ－２４° ）］ ＝ｃｏｓ４５°＝ 2 姨 2 . ② 原式 ＝－ｓｉｎ （ １８０°－１３° ） ｓｉｎ （ １８０°＋４３° ） ＋ ｓｉｎ （ １８０°＋７７° ） ｓｉｎ （ ３６０°－４７° ） ＝ｓｉｎ１３° · ｓｉｎ４３°＋ ｓｉｎ７７° ｓｉｎ４７° ＝ｓｉｎ１３° ｓｉｎ４３° ＋ｃｏｓ１３° · ｃｏｓ４３° ＝ ｃｏｓ （ １３°－４３° ） ＝ｃｏｓ （ －３０° ） ＝ 3 姨 2 . 反思感悟 （ １ ） 在两角和与差的余弦公式中， α ， β 可以是单个角， 也可以是两个角的和或 差， 在运用公式时常将两角的和或差视为 一个整体 . （ ２ ） 两角和与差的余弦公式在求值应 用中的一般思路 . ① 把非特殊角转化为特殊角的和或差， 正用公式直接求值 . ② 在转化过程中， 充分利用诱导公式， 构造两角和或差的余弦公式的结构形式， 然后逆用公式求值 . 变式训练 1 求下列各式的值： （ １ ） ｃｏｓ 13π 12 ； （ ２ ） ｓｉｎ４６０ ° ｓｉｎ （ －１６０ ° ） ＋ ｃｏｓ５６０ ° · ｃｏｓ （ －２８０° ）； （ ３ ） ｃｏｓ （ α ＋２０° ） ｃｏｓ （ ４０° －α ） －ｓｉｎ （ α ＋ ２０° ） ｓｉｎ （ ４０°－α ） . 8.2 三角恒等变换 8.2.1 两角和与差的余弦 72 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 学 要点 2 逆用或变形应用公式 例 ２ 求下列各式的值： （ １ ） ｃｏｓ （ ｘ＋２０° ） ｃｏｓ （ ｘ－４０° ） ＋ｃｏｓ （ ｘ－７０° ）· ｓｉｎ （ ｘ－４０° ）； （ ２ ） ｓｉｎ３４７°ｃｏｓ１４８°＋ｓｉｎ７７°ｃｏｓ５８°. 解： （ １ ） 原式 ＝ｃｏｓ （ ｘ＋２０° ） ｃｏｓ （ ｘ－４０° ） ＋ ｓｉｎ ［ ９０°＋ （ ｘ－７０° ）］ ｓｉｎ （ ｘ－４０° ） ＝ｃｏｓ （ ｘ＋２０° ）· ｃｏｓ （ ｘ－４０° ） ＋ｓｉｎ （ ｘ＋２０° ） ｓｉｎ （ ｘ－４０° ） ＝ｃｏｓ ［（ ｘ＋ ２０° ） － （ ｘ－４０° ）］ ＝ｃｏｓ６０°＝ 1 2 . （ ２ ） 原式 ＝ｓｉｎ （ －１３°＋３６０° ）· ｃｏｓ （ １８０°－ ３２° ） ＋ｓｉｎ７７° ｃｏｓ５８°＝ｓｉｎ （ －１３° ） （ －ｃｏｓ３２° ） ＋ ｓｉｎ７７ ° ｃｏｓ５８ ° ＝－ ｓｉｎ１３ ° （ － ｃｏｓ３２ ° ） ＋ ｓｉｎ７７ ° · ｃｏｓ （ ９０°－３２° ） ＝ｃｏｓ７７°ｃｏｓ３２°＋ｓｉｎ７７° ｓｉｎ３２°＝ ｃｏｓ （ ７７°－３２° ） ＝ｃｏｓ４５°＝ 2 姨 2 . 反思感悟 本题若将各式用两角和与差的三角函 数公式展开， 运算将很麻烦， 以上解法是 对上式进行整体分析， 寻找角度之间的关 系， 再逆用公式进行化简 . 变式训练 2 求下列各式的值： （ １ ） ｃｏｓ８０°ｃｏｓ３５°＋ｃｏｓ１０°ｃｏｓ５５° ； （ ２ ） ｓｉｎ π 12 ＋ｃｏｓ π 12 . 例 ３ 化简： ２ｃｏｓ１０°－ｓｉｎ２０° ｃｏｓ２０° . 解： 原式 ＝ ２ｃｏｓ （ ３０°－２０° ） －ｓｉｎ２０° ｃｏｓ２０° = 3 姨 ｃｏｓ２０°＋ｓｉｎ２０°－ｓｉｎ２０° ｃｏｓ２０° ＝ 3 姨 . 变式训练 3 求 ２ｃｏｓ５０°－ 3 姨 ｓｉｎ１０° ｃｏｓ１０° 的值 . 要点 3 给值求值问题 例 ４ 设 ｃｏｓ α- β 2 2 # =- 1 9 ， sin α 2 - 2 - β = 2 3 ， 其中 α∈ π 2