8.1 向量的数量积-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 1. 理解向量数量积的含义及其物理意义 . ２. 知道向量的投影与向量数量积的几何 意义 . ３. 掌握数量积的定义及运算性质， 并会 利用其性质解决有关长度、 夹角、 垂直等 问题 . 要 点 精 析 要点 1 平面向量的夹角 给定两个非零向量 ａ ， ｂ ， 在平面内任选 一点 Ｏ ， 作 O !" A ＝ａ ， O !" B ＝ｂ ， 则称 ［ ０ ， π ］ 内 的 ∠ＡＯＢ 为向量 ａ 与向量 ｂ 的夹角， 记作 〈 ａ ， ｂ 〉 . （ １ ） 两个向量夹角的取值范围是 ［ ０ ， π ］， 且 〈 ａ ， ｂ 〉 ＝ 〈 ｂ ， ａ 〉 . （ ２ ） 当 〈 ａ ， ｂ 〉 ＝ π 2 时， 称向量 ａ 与向量 ｂ 垂直， 记作 ａ⊥ｂ. 例 １ （ １ ） 已知向量 |ａ |＝２ ， |ｂ |＝ 3 姨 ， 且 ａ · ｂ＝－３ ， 则 〈 ａ ， ｂ 〉 ＝ （ ） Ａ. π 6 Ｂ. 2π 3 Ｃ. 3π 4 Ｄ. 5π 6 （ ２ ） 已知 △ＡＢＣ 中， ＡＢ＝４ ， ＢＣ＝２ ， A !" B · B !" C ＝－４ ， 则向量 B !" C 与 C !" A 的夹角为 ， 向量 A !" B 与 C !" A 的夹角为 . 分析： （ 1 ） 由平面向量的夹角公式计 算夹角的余弦值再求角 . （ ２ ） 先由向量的数量积公式计算 Ｂ ， 再由平面几何性质计算 ∠ＡＣＢ ， ∠ＢＡＣ ， 最 后求向量的夹角 . 解析： （ 1 ） ∵ 向量 |ａ|＝２ ， |ｂ|＝ 3 姨 ， 且 ａ · ｂ＝－３ ， ∴ｃｏｓ 〈 ａ ， ｂ 〉 ＝ a · b |a||b| =- 3 姨 2 . 又 ∵ 〈 ａ ， ｂ 〉 ∈ ［ ０ ， π ］， ∴ 〈 ａ ， ｂ 〉 ＝ 5π 6 . （ ２ ） 在 △ＡＢＣ 中， ∵ＡＢ＝４ ， ＢＣ＝２ ， A !" B · B !" C ＝－４ ， ∴|A !" B ||B !" C |ｃｏｓ 〈 A !" B ， B !" C 〉 ＝－４ ， 得 ４×２ｃｏｓ （ π－Ｂ ） ＝－４ ， ∴ｃｏｓＢ＝ 1 2 ， 得 Ｂ＝６０°. 如图 ， 延长 ＢＣ 到 Ｄ ， 使 ＣＤ＝ＢＣ ， 则 △ＡＢＤ 为等 边 三 角 形 ， ∴ＡＣ ⊥ＢＣ ， 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.1 向量的数量积 8.1.1 向量数量积的概念 图 8-1-1 62 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 学 ∠ＢＡＣ＝３０° ， ∴ 向量 B "# C 与 C "C A 的夹角为 ９０° ， A "C B 与 C "C A 的夹角为 １５０°. 反思感悟 求平面向量的夹角的方法技巧： （ １ ） 已知平面向量的长度和数量积 ， 利用夹角余弦公式计算 ｃｏｓ 〈 ａ ， ｂ 〉 ＝ a · b |a||b| ， 若是特殊角， 再求向量的夹角 . （ ２ ） 在 △ＡＢＣ 中， 注意三角形的内角 与平面向量的夹角的区别和联系， 常常利 用几何图形确定是 “相等” 还是 “互补” 的关系 . 变式训练 1 （ １ ） 若两个单位向量的数量积等于 －１ ， 则这两个单位向量的夹角为 （ ） Ａ. ０ Ｂ. π 2 Ｃ. 2π 3 Ｄ. π （ ２ ） 已知 ａ 是单位向量， 且 ３ａ · ｂ＝|ｂ | ， 则 ｓｉｎ 〈 ａ ， ｂ 〉 ＝ . 要点 2 与向量数量积有关的概念 例 ２ （ １ ） 以下四种说法中正确的是 . （填序号） ① 如果 ａ · ｂ＝０ ， 则 ａ＝０ 或 ｂ＝０ ； ② 如果 向量 ａ 与 ｂ 满足 ａ · ｂ＜０ ， 则 ａ 与 ｂ 所成的角 为钝角； ③△ＡＢＣ 中， 如果 A "C B · B "C C ＝０ ， 那 么 △ＡＢＣ 为直角三角形； ④ 如果向量 ａ 与 ｂ 是两个单位向量， 则 ａ ２ ＝ｂ ２ . （ ２ ） 已知等腰 △ＡＢＣ 的底边 ＢＣ 长为 ４ ， 则 B "C A · B "C C ＝ . 解析： （ １ ） 由数量积的定义知 ａ · ｂ＝ |ａ||ｂ| · ｃｏｓθ （ θ 为向量 ａ ， ｂ 的夹角） . ① 若 ａ · ｂ＝０ ， 则 θ＝９０° 或 ａ＝０ 或 ｂ＝０ ， 故 ① 错误； ② 若 ａ · ｂ＜０ ， 则 θ 为钝角或 θ＝１８０° ， 故 ② 错误； ③ 由 A "C B · B "C C ＝０ 知 Ｂ＝９０° ， 故 △ＡＢＣ 为 直角三角形， 故 ③ 正确； ④ 由 ａ ２ ＝|ａ| ２ ＝１ ， ｂ ２ ＝|ｂ| ２ ＝１ ， 故 ④ 正确 . （ ２ ） 如图 ， 过点 Ａ 作 ＡＤ⊥ＢＣ ， 垂足为 Ｄ. ∵ＡＢ