7.4 数学建模活动：周期现象的描述-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

第七章 三角函数 学 学 习 目 标 １. 了解周期现象在现实中广泛存在 . ２. 感受周期现象对实际工作的意义 . ３. 能熟练地判断简单的实际问题的周期 . 要 点 精 析 要点 1 利用图象判断周期现象 例 １ 下表是 ２０２２ 年 ５ 月 １ 日在泰山山 顶每隔 ２ ｈ 测得的温度 （单位： ℃ ） . （ １ ） 以时刻为 ｘ 轴， 以气温为 ｙ 轴， 描 出图象； （ ２ ） 若山顶的温度随时刻 ｔ 的变化具有周 期现象， 试估计泰山山顶一天中的最大温差 . 解： （ １ ） 如图： （ ２ ） 由图 （表） 知， 泰山山顶一天中的 最大温差约为 ２８- （ -２ ） ＝３０ （ ℃ ） . 反思感悟 利用图象判断周期现象的方法 （ １ ） 由题中提供的数据画出图象； （ ２ ） 观察图象是否是随着一个变量的 等值变化， 另一个变量的值重复出现， 若 满足， 则是周期现象 . 变式训练 1 我们的心跳都是有节奏、 有规律的， 心 脏跳动时， 血压在增大或减小 . 下表是某人 在一分钟内的血压与时间的对应关系表， 通 过表中数据来研究血压变化的规律 . （ １ ） 根据上表提供的数据在平面直角坐 标系中作出血压 ｐ 与时间 ｔ 的关系的散点图； （ ２ ） 说明血压变化的规律 . 7.4 数学建模活动： 周期现象的描述 ℃ h 图 7-4-1 时刻 气温 0 13.5 2 6.0 4 0.1 6 -2 8 0.14 10 5.9 12 14.1 时刻 气温 14 22.5 16 27.5 18 28 20 27.3 22 21.0 24 14.5 （续表） t/s 5 10 15 20 25 30 p/mmHg 93.35 136.65 115 93.35 136.65 115 t/s 35 40 45 50 55 60 p/mmHg 93.35 136.65 115 93.35 136.65 115 59 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 要点 2 周期现象的计算问题 例 ２ 水车上装有 １６ 个盛水槽， 每个 盛水槽最多盛水 １０ Ｌ ， 假设水车 ５ ｍｉｎ 转一 圈， 计算 １ ｈ 内最多盛水多少升？ 解 ： ∵１ ｈ＝６０ ｍｉｎ＝１２×５ ｍｉｎ ， 且水车 ５ ｍｉｎ 转一圈， ∴１ ｈ 内水车转 １２ 圈 . 又 ∵ 水 车上装有 １６ 个盛水槽， 每个盛水槽最多盛 水 １０ Ｌ ， ∴ 每转一圈 ， 最多盛水 １６×１０＝ １６０ （ Ｌ ）， ∴ 水车 １ ｈ 内最多盛水 １６０×１２＝ １ ９２０ （ Ｌ ） 反思感悟 （ １ ） 应用周期现象中 “周而复始” 的 规律性可以达到 “化繁为简” “化无限为 有限” 的目的 . （ ２ ） 只要确定好周期现象中重复出现 的 “基本单位” 就可以把问题转化到一个 周期内来解决 . 变式训练 2 利用例 ２ 中的水车盛 ８００ Ｌ 的水， 至少 需要多少时间？ 要点 3 周期现象的应用 例 ３ 一根长为 ｌ 的 线， 一端固定， 另一端悬 挂一个小球， 如图 . 已知小 球从 Ｍ 点放下， 经过 ０.５ ｓ 第一次到达平衡位置 Ｏ ， 求小球第三次经过平衡位置 Ｏ 的时间 . 解： 设小球从点 Ｍ 处放下， 经过平衡 位置 Ｏ 到达最高点 Ｎ ， 由于第一次到达平衡 位置的时间为 ０.５ ｓ ， 因此由 Ｍ 点第一次到 达 Ｎ 点的时间为 １ ｓ ， 由 Ｎ 处摆动到平衡位 置是第二次到达平衡位置， 用时 ０.５ ｓ ， 到达 Ｍ 点用时 ０.５ ｓ ， 从点 Ｍ 再次达到平衡位置 点 Ｏ ， 即第三次到达平衡位置又用时 ０.５ ｓ. 故第三次经过平衡位置的时间为 １＋０.５＋０.５＋ ０.５＝２.５ （ ｓ ） . 反思感悟 应用周期现象解决实际问题的两个要点 变式训练 3 如图是一单摆， 摆球从点 Ｂ 到点 Ｏ ， 再 到点 Ｃ 用时 １.６ ｓ （不计阻力） . 若从摆球在 点 Ｂ 处开始计时， 经过 １ ｍｉｎ 后， 请估计摆 球相对于点 Ｏ 的位置 . 图 7-4-2 图 7-4-3 一找 判断某种周期现象的 “周期” 时， 要 仔细审题， 找准最基本的 “重复单位” 就是其 “周期” 二化 只要确定了周期现象中的 “周期”， 我 们就可以把问题转化到一个 “周期” 内解决 60 第七章 三角函数 学 数 学 文 化 傅立叶变换是数字信号处理领域一种 很重要的算法 . 要知道傅立叶变换算法的意 义， 首先要了解傅立叶原理的意义 . 傅立叶 原理表明 ： 任何连续测量的时序或信号 ， 都可以表示为不同频率的正弦波信号的无 限叠加 . 而根据该原理创立的傅立叶变换算 法利用直接测量到的原始信号， 以累加方 式来计算该